Как это решить Трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая перпендикулярна... Как решить?.

Конечно, очень печально, что к заданию не приложена иллюстрация, но можно сказать, что я к этому уже привык. Это не редкость, если не сказать, что случается чаще обратного. При этом в моей тетрадке в клеточку всё меньше и меньше чистых листочков, а интересные вопросы всё не заканчиваются. Отрываем очередной и располагаем на нём трапецию ABCD, а вслед за ней и все прямые и перпендикуляры, как было сказано в задании:
С виду BH и ED действительно параллельны. Но геометрия является точной наукой и к ней не прилипает слово «почти». Тут либо параллельны, либо нет. И нам предстоит разобраться. И для этого я предлагаю продлить верх стороны AB и CD до их пересечения в точке F, как показано на следующей картинке:
А теперь давайте поищем здесь подобные треугольники. Например:
∆AFD и ∆BFC подобны, потому что 1) ∠AFD = ∠BFC; 2) ∠FAD = ∠FBC = 90°;∆AFH и ∆EFC подобны, потому что 1) ∠AFH = ∠EFC; 2) ∠AHF = ∠ECF = 90°.Кроме того:
∆CFE и ∆BFC подобны, потому что 1)∠CFE и ∠BFC; 2) ∠CBF = ∠ECF = 90°.На сколько я понимаю, если из двух пар подобных треугольников взять по одному и они окажутся между собой подобными, то этим же свойством будут обладать все четыре треугольника. Таким образом:
∆AFD, ∆BFC, ∆AFH и ∆EFC подобны ⇒FB/FC = FC/FE = FA/FD / FH/FA ⇒FB/FE = FH/FDА теперь внимательно изучаем одну любопытную шпаргалку (это так называемая «Теорема о пропорциональных отрезках»):
Только у нас несколько наоборот - нам уже понятно, что отрезки между собой пропорциональны. И остаётся лишь сделать вывод - прямые BH и ED параллельны.
Что касается второй части задания, то я предлагаю не выбрасывать ничего из предыдущих записей - всё может пригодиться. И, понятное дело, будем иметь в виду, что величина угла ∠BCD = 135°. Но мы же с вами знаем, что в трапеции сумма углов, прилегающих к боковым сторонам равна 180°. Наша трапеция по условиям задания слева прямоугольная - 90°+90°=180°. Так и справа:
∠ADC = 180° - ∠BCD = 180° - 135° = 45° ⇒∠ADF = ∠ADC = 45° ⇒∆ADF - прямоугольный равнобедренный треугольник ⇒AH - не только высота, но и медиана ∆ADF ⇒FH = HDКак мы выяснили в первой части вопроса, прямые ЕD и BН параллельны и тогда по той же самой теореме Фалеса:
FB = BE ⇒BH является средней линией ∆DEF ⇒BH / ED = 1/2P.S. Остаётся надеяться на то, что я сам в этих расчётах не запутался