Боковое ребро правильной шестиугольной призмы ABCDEF A1B1C1D1E1F1 в √3 раз больше ребра основания. Найди угол между плоскостями (AC1D1) и (ABC).�

Прежде чем искать угол между плоскостями, надо понять что это за плоскости.
Плоскость (ABC) - Это плоскость основания призмы ABCDEF
Плоскость (AC₁D₁): Так как С₁D₁ || CD и CD || AF, то C₁D₁ || AF.
А через 2 параллельные прямые проходит плоскость и только одна, и так как A ∈ (AC₁D₁), то и AF ∈ (AC₁D₁)
Таким образом (AC₁D₁) ⋂ (ABC) = AF (пересекаются по прямой AF)
Искомым углом между плоскостями будет угол между прямыми в этих плоскостях перпендикулярных линии пересечения.
Так как ABCDEF - правильный шестиугольник, то  AF || CD и AF=CD и AD = CF, значит ACDF - прямоугольник => AC ⟂ AF
Так как призма правильная, то боковые ребра перпендикулярны основанию, то есть CC₁ ⟂ (ABC) => C - проекция точки С₁ на плоскость (ABC). Точка A принадлежит обоим плоскостям, таким образом является проекцией самой себя. Тогда AC - проекция AC₁ на плоскость (ABC) и => (по теореме о 3-х ⟂) AC₁ ⟂ AF.
И угол между заданными плоскостями - это угол между C₁A и её проекцией AC. То есть ∠CAC₁
Пусть сторона шестиугольника равна "х". Угол в шестиугольнике = 120˚,
Тогда смотрим ∆ABC: по теореме косинусов
AC² = x² + x² - 2•x•x•cos120˚ = 3•x²
AC = x•√3
По условию CC₁ = x•√3
Тогда смотрим ∆ACC₁ - он прямоугольный (CC₁ ⟂ AC) и равнобедренный (CC₁ = AC)
=> ∠CAC₁ = 90˚/2 = 45˚
Ответ: угол между плоскостями (AC1D1) и (ABC) = 45˚ 
                                                                              

(Ответ от ОлегТ был первым и должен быть выбрать лучшим; я же хоть и опоздал, но предлагаю чуть более краткую запись решения.)
Основание призмы  -- правильный шестиугольник. Внутренний угол правильного n-угольника равен pi*(n-2)/n, где pi -- число pi. Для n=6, угол ABC равен ABC = pi*4/6 = 2*pi/3. Положим AB=1. Тогда, по теореме косинусов, AC^2 = 2-2*cos(ABC) = 2-2*cos(2*pi/3). Т.к. косинус от 2*pi/3 равен -1/2, то
AC^2 = 2 + 2/2 = 3. (*)
Угол между плоскостями AC_1D_1 и ABC равен углу C_1AC (т.к. отрезок AC_1 принадлежит плоскости AC_1D_1). Из-за того, что призма -- прямая, сторона CC_1 перпендикулярна основанию, поэтому ACC_1 -- прямоугольный треугольник. Имеют место равенства AC_1*sin(C_1AC) = sqrt (3) и AC_1*cos(C_1AC) = AC. Деля одно на другое получаем tg(C_1AC) = sqrt(3)/AC => C_1AC = arctg(sqrt(3/AC^2)). Подставляя сюда (*) получаем C_1AC = arctg(sqrt(3/3)) = arctg(1) = pi/4 [радиан] (45 градусов).