Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам

Путь улитки путь по дням - это обычная арифметическая прогрессия, где её попарные суммы N1 + Ni, N2 + N(i-1), N3 + N(i-2)... равны между собой и по условию задачи равны 10.
Таких пар будет 150 / 10 = 15, следовательно, всех членов этой арифметической прогрессии будет 30.
Ответ 30 дней.   
                                                                              

Задача совсем не сложная для выпускников 9 класса.
В этой задаче явная арифметическая прогрессия, которую уже проходили и решали. Воспользуемся формулой для нахождения суммы первых членов арифметической прогрессии:
Sₓ=x*(a₁+aₓ)/2, где х - количество дней, которое нам нужно найти, а (a₁+aₓ) - сумма первого и последнего членов (сколько метров улитка проползла в первый и последний день вместе), S - сумма всех членов (общее расстояние, которое проползла улитка). Подставляем данные в формулу и решаем уравнение:
150=х*10/2
150=5х
х=150/5
х=30 дней - всего.
Ответ: на весь путь улитка потратила 30 дней.

решение:
Допустим, что улика проползла:
• a1 (метров) в первый день
• a2 (метров) во второй день и так далее, тогда:
• an (метров) улитка проползла в последний день;
• a1 + an = 10 (метров) проползла улитка всего за первый и последний день;
• Sn = ((a1 + an)/2) * n
Sn = (10/2) * n
Sn = 5n (метров) проползала улитка за n - дней.
По условию задачи улитка всего проползла 150 метров, значит:
• 5n = 150
n = 150/5
n = 30 ( дней)
Ответ:на весь путь улитка потратила 30 дней

Решение очень простое, если понять, что речь идёт об арифметической прогрессии. А это действительно так, речь идёт об увеличение числа на одну и ту же величину. Тогда решение тем более простое. Известна сумма членов арифметической прогрессии 150 и сумма первого и последнего членов - 10. Записав формулу первых n членов арифметической прогрессии S=(a1+an)*n /2 поймем, что 150=10*n/2 или 300=10*n или n=30.