Вопрос такого рода. В жилом доме имеется 6400 ламп вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0.5 .найдите вероятность того что число одновременно включенных ламп будет заключено между 3160 и 3240.

Для решения этой задачи можно использовать нормальное приближение биномиального распределения, так как общее количество ламп достаточно велико (6400), а вероятность включения каждой из них равна 0.5, что соответствует испытаниям Бернулли.

Сначала найдем математическое ожидание (M) и дисперсию (D) для биномиального распределения:

M = np

D = np(1-p)

где n = 6400 — общее количество ламп, p = 0.5 — вероятность включения одной лампы.

Таким образом, получаем:

M = 6400 х 0.5 = 3200

D = 6400 х 0.5 х (1 - 0.5) = 1600

Стандартное отклонение ( sigma) будет квадратным корнем из дисперсии:

$$ \sigma = V---D =V---1600 = 40

Теперь мы можем использовать функцию нормального распределения для нахождения вероятности того, что количество включенных ламп будет между 3160 и 3240. Для этого нам нужно вычислить z-оценки для 3160 и 3240:

z_1 = 3160 - M/sigma

z_2 = 3240 - M/sigma

Подставляем значения:

z_1 = 3160 - 3200/40 = -1

z_2 = 3240 - 3200/40 = 1

Используя таблицу z-оценок или калькулятор нормального распределения, мы можем найти вероятности для z_1 и z_2. Разница между этими двумя вероятностями даст нам искомую вероятность того, что количество включенных ламп будет между 3160 и 3240.

Обычно для z = 1 вероятность составляет около 0.8413, а для z = -1 — около 0.1587. Таким образом, вероятность того, что количество включенных ламп будет между 3160 и 3240, приблизительно равна:

P(3160 < X < 3240) = P(z < 1) - P(z < -1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826

Это означает, что вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет заключено между 3160 и 3240, составляет примерно 68.26%.