В равнобедренном треугольнике высота, выходящая из вершины, совпадает с биссектрисой и медианой.
А в равностороннем - все три высоты совпадают с тремя биссектрисами и тремя медианами.
Внимание, вопрос:
Может ли высота совпадать с биссектрисой, но не совпадать с медианой?
А медиана совпадать с биссектрисой, но не совпадать с высотой?
А высота совпадать с медианой, но не совпадать с биссектрисой?

Рисунок получился боком почему-то. Извиняюсь.
Вариант несовпадения высоты с би
ссектрисой-медианой на рис. 1.Угол В 90 градусов для примера.2 рисунок:пусть у нас совпадает высота и биссектриса. Тогда треугольники АВО и ОВС конгруэнтны по стороне и двум прилежащим к ней углам . И тогда :
АО=ОС, то есть ВО еще и медиана.
3 рисунок:пусть совпадают высота и медиана.
Тогда треугольники АВО и ОВС конгруэнтны по двум сторонам и углу между ними, значит углы АВО и ОВС равны.
То есть ВО еще и  биссектриса.
То есть возможен то что высота не совпадает биссетрисой и медианой.
Если же высота является медианой (или биссектрисой) то она является одновременно биссектрисой( или медианой).
Что-то я засомневался в рис. 1 и поэтому решил отредактировать, строго говоря трудно мне доказать, что АО=ОС, возможно треугольник АВО и не равнобедренный вовсе то есть другое соотношение углов. К тому же 90 градусов мною формально выбрано точно.
Лучше я приведу рисунок 4.
Здесь углы произвольные и значения их(углов А, х, В, С, ВОА, ВОС) можно подобрать произвольно, чтобы они соответствовали равенствам на рисунке. Арифметика стерпит
                                                                              

Первый случай. Допустим, что в треугольнике АВС высота ВК совпадает с биссектрисой, но не совпадает с медианой. Рассмотрим треугольники АВК и СВК. Они равны по двум углам и по стороне ВК. Значит и стороны АК и СК равны, значит ВК является и медианой. Противоречие, значит такого треугольника не существует.
Второй случай. Допустим медиана ВК в треугольнике АВС совпадает с биссектрисой, но не совпадает с высотой. Достроим параллелограмм АВСД. Рассмотрим треугольники АВК и СДК. Они равны, (АК=СК, углы равны, как крест накрест лежащие), значит все стороны этого параллелограмма равны. То есть АВСД ромб, у ромба диагонали перпендикулярны. Значит ВК является высотой. Противоречие. Ответ: такого треугольника не существует.
Третий случай, высота совпадает с медианой, но не совпадает с биссектрисой, доказывается аналогично первому случаю.

Этот рисунок привожу по поводу применения признаков треугольников. У этих треугольников 2 стороны одного равны 2 сторонам другого и по одному равному углу. Но эти треугольники неконгруэнтные, потому что углы "несходственные" (не знаю как это выразить) . Поэтому,так как вы в комментарии, определяли конгруэнтность, может и неправильно.
Но и я перемудрил,написав то, что арифметика стерпит.
Если применить теорему синусов для всех трех треугольников с рисунка 4 в моем первом ответе, то вряд ли мы сможем подобрать такие углы, то есть такая система не будет иметь решения.
Поэтому, если биссектриса и медиана совпадают, то и высота совпадёт с ними.

Может ли высота совпадать с биссектрисой, но не совпадать с медианой? - Нет.
А медиана совпадать с биссектрисой, но не совпадать с высотой? - Нет.
А высота совпадать с медианой, но не совпадать с биссектрисой? - Нет.

А если этот треугольник является основанием пирамиды? Высота или биссектриса проведённая из вершины треугольной пирамиды никаким боком не подходит к медиане треугольника. В объёме условие выполнено. А на плоскости нет.

Может ли высота совпадать с биссектрисой, но не совпадать с медианой? - Нет.
А медиана совпадать с биссектрисой, но не совпадать с высотой? - Нет.
А высота совпадать с медианой, но не совпадать с биссектрисой? - Нет.