В четырёхугольнике ABCD, описанном около окружности, AB=17, CD=25, стороны AD и BC параллельны и AD-BC=28. Найдите площадь этого четырёхугольника.

Ну,уже Грустный Роджер показал что АВ+СД=ВС+АД=42.
Отсюда используя условие АД-ВС=28 легко найти:
АД=35
ВС=7.
Пусть высота трапеции -Н
Площадь П=(АД+ВС)*Н/2
Остается найти Н.
Вот  если из точек В,.С опустить перпендикулярны. (Сразу недодумал показать на рисунке), то получим на нижнем основании 2 точки. Пусть х-первое расстояние
у-второе расстояние, такое что:
х+7+у=35,далее из двух прямоугольных треугольников получаем :
17*17=х*х+Н*Н
25*25=у*у+Н*Н,или
(25-17)(25+17)=(у-х)(у+х).
Но ведь у+х=28
Находим (у-х) :
у-х=(25-27)(25+27)/28=12
Далее находим:
2у=40
у=20,а х=8
Находим Н:
Н*Н=25*25-20*20=225
Н=15
Площадь П=(7+35)*15/2=
=21*15=315--это ответ
                                                                              

Как обычно, решение задачек по геометрии полезно начинать с рисунка.
Следующее, что надо сделать, - это вспомнить теорему Пито: если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны. То есть AD + BC = AB + CD. И коль скоро AB и CD известны, то можно мгновенно догадаться, что AD+BC = 42. То есть дла этих двух сторон известны сумма и разность, а значит, каждую их них легко вычислить и по отдельности (потрудитесь это сделать).
Дальше: коль скоро AD || BC, то перед нами трапеция, и её площадь есть произведение полусуммы оснований на высоту. Вся загвоздка в том, что высота пока что неизвестна. Ну так фигня вопрос. Опустим перпендикуляры их В и С на основение (это будут точки B' и C'). Если из трапеции вырезать прямоугольник B'BCC', то останется треугольник с известными сторонами (25, 17, 28 - всё из условия задачки), площадь которого вычисляется по формуле Герона. А из этой площади и известного основания треугольника враз считается и его высота. Собсно, площадь всего четырёхугольника теперь можно сосчитать как сумму площадей полученного треугольника (уже сосчитанную) и сумму вырезанного прямоугольника, которая считается понятно как.