Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω. На отрезках AB, BC, CD, DA отмечены точки K, L, M, N соответственно таким образом, что KLMN – ромб и KN||BD||LM, KL||AC||NM. В треугольники AKN, BLK, CML, DNM вписаны окружности ω₁, ω₂, ω₃, ω₄ соответственно. Внутренние общие касательные к окружностям ω₁ и ω₃ пересекаются в точке Q. Через точку Q проведена касательная к окружности ω₂, которая касается окружности ω₂ в точке T. Найдите количество общих точек прямой QT и окружности ω₄.

Квадрат является частным случаем четырёхугольника и ромба, и он всегда впишется в окружность. Если рассматривать четырёхугольник ABCD и ромб KLMN как квадраты, картинка приобретает следующий вид:
Здесь с определением количества общих точек прямой QT и окружности w4 всё просто. Центры окружностей w2, w4 и точка Q лежат на прямой BD. Расстояния между центрами окружностей и точкой Q равны. Равны так же радиусы окружностей. Осталось доказать, что перпендикуляр из центра w4 к прямой QT равен радиусу окружности w4. В таком случае только одна точка будет общей.
Но, возможно, что задача стоит несколько шире. Вероятно, предварительно нужно доказать, что не существует иного четырёхугольника, вписанного в окружность, кроме как квадрата, к тому же содержащего в себе вписанный ромб со сторонами параллельными диагоналям четырёхугольника.
Ответ получился совсем не математическим и не геометрическим, но, надеюсь, он подтолкнёт к верному решению других.