Расскажите как работает метод Ньютона на примере корень в степени 25 из 10.
Не очень понимаю что там берут за приближение, а потом как делают последующие итерации.

Метод Ньютона (для определения корней уравнения) состоит в том, что вместо исходного уравнения вида f(x)=0 рассматривается уравнение вида f(xₐ)+xf'(xₐ) = 0, где xₐ - некоторая точка, в окрестности которой мы ищем корень. Она может выбираться из каких-то интуитивных соображений или из анализа вида конкретной функции. Ясное дело, что это уравнение даст корень, отличающийся от "настоящего", но затем можно взять это найденное число за новое значение xₐ и повторить вычисление, затем ещё и ещё раз, с каждым разом повышая точность. Причём скорость сходимости этого метода довольно высокая - ошибка уменьшается квадратично с числом итераций.
В частности, вот для этой задачки соответствующее ей уравнение этого уравнения будет x²⁵ - 10 = 0, и запросто можно считать, что xₐ = 1. Ну натурально, ведь возведение числа, даже не намного превышающего 1, аж в двадцать пятую (!) степень запросто может дать число, близкое к 10. Очевидно, что f(1) = -9, f'(1) = 25, и на первом шаге итерационное уравнение выглядит как
-9+1*25х = 0, откуда х=9/25=0,36.
Теперь полагаем xₐ = 1,36, вычисляем производную от функции x²⁵ - 10 в этой точке и решаем уравнение ещё раз, получая следующее приближение. И так до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.