В четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны, причём лучи AB и DC пересекаются в точке О. Прямая, соединяющая середины M и N диагоналей AC и BD соответственно, пересекают биссектрису угла  AOD в точке P. Найдите синус угла OPM. 

данную, задачу проще всего решать векторным методом
введем следующие обозначения:
а -  вектор АВ
b -  вектор DС
c -  вектор AD
тогда получаем следующие соотношения:
вектор АС = с + b
вектор АM = (с + b)/2
вектор DB = а - с
вектор DN = (а - с)/2
вектор АN = с + вектор DN = с + (а - с)/2 = (а + с)/2
вектор МN = вектор АN - вектор АM = (а + с)/2 - (с + b)/2 = (а - b)/2
отложим от точки О вектора а и b
по условию задачи, AB = CD, т.е вектора а и b имеют одинаковую длину
следовательно вектор (а + b) - параллелен биссектрисе угла между векторами а и b
т.е вектор (а + b) - параллелен биссектрисе ОР
найдем скалярное произведение векторов MN и (а + b):
(а + b) * (а - b)/2 = (а² - b²)/2
вектора а и b имеют одинаковую длину, следовательно а² = b²
т.е скалярное произведение векторов MN и (а + b) равно нулю, следовательно данные вектора - перпендикулярны
Ответ:
синус угла ∠OPM = sin(90°) = 1