Как это решить Задача. Как доказать что внутри группы из 10 человек шляпы не передавались?.

Минимальная группа людей, внутри которой возможна ситуация "шляпы не передавались", это 2 человека (одного человека группой не считаем). Это значит, что эти два человека просто отдали свои шляпы кому-то из оставшихся 28 людей.
Максимальная группа внутри которой возможна ситуация "шляпы не передавались", это 28 человек. Эти 28 человек отдали свои шляпы оставшимся двоим.
Все остальные ситуации между этими крайностями тоже возможны при тех же условиях (члены "изолированной" группы отдали свои шляпы членам другой группы). В том числе найдется группа и из 10 человек, внутри которой шляпы не передавались. Например 10 человек отдали шляпы 10 другим людям, а оставшиеся 20 передавали свои шляпы по кругу (внутри своей группы) или попарно, или ещё как-то.
10→(10→←10).

Что означает: найдется группа из 10 человек, внутри которой шляпы не передавались?
Это значит, что каждый из этих 10 отдал шляпу кому то остальным из 20 и если получил шляпу, то от остальных из 20.
Возьмем любого участника. Он кому то передал шляпу и возможно ему кто то передал шляпу. Это могли быть разные люди, а мог быть один человек.
Таким образом для этого участника будет 1 или 2 человека с которыми происходила передача шляп. То есть не больше 2 человек.
Выберем 2-го не из числа этих 2. Аналогично ещё не больше 2 человек будет у участвовать в передаче шляп. Итого не более 4.
Аналогично выберем 10 человек. И каждый из них не  более чем с 2 остальными менялся шляпами. Итого не более 20 человек.
Что соответсвует требуемому условию.