Дан правильный треугольник ABC и произвольная точка Q внутри него. Расстояния от точки Q до  сторон треугольника равны m, n, p. Найдите  значение выражения (m+n+p)/h, где h – высота треугольника ABC.

Соединим произвольную точку Q внутри правильного треугольника с его вершинами. Получатся три треугольника с высотами m, n, p и соответствующими основаниями, равными стороне а данного правильного треугольника, в котором все стороны равны. Так как три полученных треугольника составляют данный правильный треугольник, его площадь аh/2 равна сумме площадей этих трёх треугольников ma/2+nа/2+ра/2:
аh/2 = ma/2+nа/2+ра/2, откуда
аh/2 = а(m+n+р)/2,
h = m+n+р,
(m+n+p)/h = 1.
Ответ: 1.
Примечание.
Аналогично с использованием объёмов доказывается равенство высоте тетраэдра суммы расстояний от произвольной точки внутри тетраэдра до его граней.