В классе 25 учеников. У трёх из них ровно по три друга, у следующих трёх — по шесть, у следующих трёх — по девять, ..., у следующих трёх — по двадцать четыре. Сколько друзей у 25‑го ученика?
Дружба между людьми взаимна.

Условие задачи:
1) Первые 3 ученика ( с 1 по 3 ученика) дружат между собой (т.е. по два друга в каждой тройке) и еще с 1 учеником в классе = у каждого по 3 друга.
2) Следующие 3 ученика(с 4 по 6 ученика) дружат между собой и еще с 4 учениками в классе = у каждого по 6 друзей.
3) Следующие 3 ученика (с 7 по 9 ученика) дружат между собой и еще с 7 учениками в классе  = у каждого по 9 друзей.
---- прерывание условия задачи ---
Далее размышляем в этой же логике - прогрессия 1 - 4 - 7 - ..., т.е. у каждой следующей тройки прибавляется по 3 друга:
4) Следующие 3 ученика (с 10 по 12 ученика) дружат между собой  и еще с 10 учениками в классе  = у каждого по 12 друзей.
5) Следующие 3 ученика (с 13 по 15 ученика) дружат между собой и еще с 13 учениками в классе  = у каждого по 15 друзей.
6) Следующие 3 ученика (с 16 по 18 ученика) дружат между собой и еще с 16 учениками в классе  = у каждого по 18 друзей.
7) Следующие 3 ученика (с 19 по 21 ученика) дружат между собой и еще с 19 учениками в классе  = у каждого по 21 другу.
Следующие 3 ученика (с 22 по 24 ученика) дружат между собой и еще с 22 учениками в классе  = у каждого по 24 друзей.
Здесь видим подтверждение правильности прогрессии из условия задачи.
В итоге 25-й ученик остался один, без друзей среди троек, но продолжая прогрессию получаем "еще с 25 учениками в классе", но так как их всего 25, то у него может быть только 24 друга из этого класса.
Если условия задачи не ограничивают нас одноклассниками, то правильно было бы 25 друзей. Но  почему-то правильный ответ 12.... Как так???
                                                                              

Три ученика дружат между собой и еще с одним учеником в классе. Тогда у каждого из них по три друга. Далее еще трое дружат с этими тремя и между собой и еще одним (разным для каждого) учеником из класса (всего у каждого по 6 друзей). Тогда понятно, что следующие три дружат с этими шестью и между собой и еще с одним учеником в классе. Далее, четвертая тройка имеет по 12 друзей, 5-я - 15, 6-я - 18, 7-я - 21, 8-я - 24 (это значит что они дружат с 21 учеником + между собой и каждый из 8-й тройки с 25-м учеником. То есть 25-й ученик имеет троих друзей.
Вот схема их взаимоотношений.![][�1]

Имеем 8 троек, при этом 8-я дружит со всеми, значит 1-я тройка дружит только с 8-й. Получаем:
1-я тройка дружит с 8-й
2-я с 7-й и 8-й
3-я с 6,7,8
4-я с 5,6,7,8
5-я с 4,5,6,7,8
6-я с 3,4,5,6,7,8
7-я с 2,3,4,5,6,7,8
8-я с 1,2,3,4,5,6,7,8
Для 5-8 троек условие невыполнимо, ибо получается что ученики дружат сами с собой, значит туда попадает 25-й ученик
4*3=12 друзей у 25 ученика

Напишу решение, которое предлагают составители заданий олимпиады по математике на платформе Сириус. Сама я не совсем понимаю, почему именно так - я думаю, что последний ученик должен дружить со всеми. Но решение такое:
Как видите, если в классе 31 ученик, то у 31-го - 15 друзей. У нас в задании 25 учеников, у 25-го ученика будет 12 друзей.
Ответ: 12 друзей.

25 ученик имеет 12 друзей, те половину от всего класса.