Ответьте пожалуйста. Всегда ли расстояние от центра окружности до хорды окружности делит эту хорду пополам?

Нет. Не всегда. Потому что могут быть неевклидовы геометрии.
-------
Рассмотрим. Хорда может быть в любом положении находящаяся внутри окружности. В то время как, расстояние от центра окружности до хорды окружности, может падать под любым углом на хорду. 


Значит, что расстояние от центра окружности до хорды окружности не всегда делит хорду, на две равные части.


-------
Да
Доказательство:
С хордой можно создать треугольник с вершиной в центре. Значит, боковые стороны треугольника — радиусы, которые всегда равны. Следовательно, треугольник равнобедренный, а значит, его высота (расстояние) является медианой и делит хорду пополам. Так как центр всегда на одном месте, то расстояние от центра окружности до хорды ВСЕГДА делит хорду пополам, независимо от положения самой хорды