Было бы любопытно разузнать. В маленькой деревне всего 31 домов. Может ли быть так, что у каждого дома 4, 6 или 8 соседей?

Да, это возможно. Для этого количество домов должно быть кратно 4, 6 и 8 одновременно. Так как 4, 6 и 8 делятся на 2, то количество домов должно быть кратно 2. Таким образом, возможно, что количество домов в деревне равно 31, так как 31 делится на 1, 31, что является простыми числами, и на 2, 4, 6, 8, 31. Каждый дом имеет по 4, 6 или 8 соседей.
-------
Для того чтобы у каждого дома было 4, 6 или 8 соседей, каждая вершина графа должна иметь степень 4, 6 или 8. Однако, сумма степеней всех вершин графа должна быть чётным числом, так как каждое ребро соединяет две вершины и учитывается дважды при подсчёте суммы степеней.

В нашем случае, если предположить, что у каждого из 31 дома по 4 соседа, то сумма степеней вершин будет равна (31 х 4 = 124), что является чётным числом и теоретически возможно. Однако, если у некоторых домов будет 6 или 8 соседей, то сумма степеней вершин изменится. Например, если у одного дома будет 6 соседей, а у остальных по-прежнему 4, то сумма степеней вершин будет равна (1 х 6 + 30 х 4 = 126), что также является чётным числом. Но если у двух домов будет по 6 соседей, то сумма степеней вершин будет (2 х 6 + 29 х 4 = 128), что снова чётно.

Таким образом, теоретически возможно распределить соседей таким образом, чтобы у каждого дома было 4, 6 или 8 соседей, но для точного ответа нужно учитывать конкретное расположение домов и дорог между ними. Если деревня имеет специфическую планировку, которая не позволяет такое распределение, тогда ответ будет отрицательным.