Дан квадрат ABCD с центром в точке O. На сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD отмечены точки F и G, H и I, J и K, L и E соответственно таким образом, что EFO, GHO, IJO, KLO – равносторонние треугольники (см. рис.). Найдите площадь треугольника AFE, если известно, что площадь треугольника OHI равна 12.

Треугольники GOH и JOI равносторонние, следовательно, углы BOH и COI равны по 30° и
∠HOI=∠BOC-∠BOH-∠COI=90°-30°-30°=30°
Высота треугольника HOI равна OH∙cos15°
Основание равно 2∙OH∙sin15°
Площадь △HOI=OH∙cos15°∙2∙OH∙�sin15°/2=OH²∙cos15°∙�sin15°
Треугольник OHI равнобедренный угол при вершине O равен 30° по формуле двойного угла sin2α=2sinᵅ⁄₂∙cosᵅ⁄₂
sin30°=2sin15°∙cos15�°=½
sin15°∙cos15°=¼
Для площади получим:
S△HOI=OH∙cos15°∙2∙OH�∙sin15°/2=OH²∙cos15°�∙sin15°=¼OH²
Составим уравнение:
¼OH²=12
OH=√48=4√3
Высота треугольника HOI равна
h=OH∙cos15°=4√3∙cos1�5°
AB=BC=CD=AD=2h=8√3∙c�os15°
AO=√(2h²)=h√2
HI=2∙OH∙sin15°=8√3∙s�in15°
Высота △OFE=OH√3/2 (как катет прилежащий к углу в 30°)
AO=√(2h²)=√(2∙16∙3∙c�os²15°)=4√6∙cos15°
Высота △AFE=AO-Высота△OFE=4√6∙cos15�°-OH√3/2
Высота △AFE=4√6∙cos15°-4√3√3/2=4√3(√2∙cos15�°-√3/2)
Площадь △AFE=½FE∙4√3(√2∙cos1�5°-√3/2)
FE=OH=4√3
Площадь △AFE=½∙4√3∙4√3∙(√2∙c�os15°-√3/2)=½∙48∙(√2∙cos15�°-√3/2)=12
Ответ:площадь треугольника AFE равна 12.