В треугольнике длины всех сторон— целые числа. Две стороны равны 20 и 23 см, а периметр треугольника делится на 5. Сколько разных значений может принимать периметр: 5, 6, 7, 8, 9?

Для того, чтобы выполнить это задание, нужно вспомнить теорему о неравенстве треугольника:
В соответствии с этой теоремой, минимальное возможное значение третьей стороны 5 см, тогда правило соблюдается: 24<20+5, 20<23+5, 5<23+20, если мы возьмём длину третьей стороны 4 см, то 24=20+4, треугольник не получится. Также в соответствии с этой теоремой, найдём максимальное значение третьей стороны - это 42 см. Проверяем: 42<23+20, 20<23+42, 23<20+42.
Теперь из всех возможных целочисленных значений третьей стороны от 5 до 42 см выберем те, которые будут давать значение периметра, кратное 5:
1) третья сторона 7 см. Периметр: 7+20+23=50 см, делится на 5.
2) третья сторона 12 см. Периметр: 12+20+23=55 см, делится на 5.
3) третья сторона 17 см. Периметр: 17+20+23=60 см, делится на 5.
4) третья сторона 22 см. Периметр: 22+20+23=65 см, делится на 5.
5) третья сторона 27 см. Периметр: 27+20+23=70 см, делится на 5.
6) третья сторона 32 см. Периметр: 32+20+23=75 см, делится на 5.
7) третья сторона 37 см. Периметр: 37+20+23=80 см, делится на 5.
третья сторона 42 см. Периметр: 42+20+23=85 см, делится на 5.
Получается всего 8 возможных значений периметра: 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85 см.