На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −18. Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

Ну формулами решать такие задачи не интересно, будем решать текстом. Нетрудно заметить, что если рассмативать отдельно положительные и отрицательные числа, то любая группа положитеьльных и отдельно отрицательных чисел равна такому же количеству их средних арифметических. Допустим, если у положительных среднее арифметическое 9, и чисел 2, то это могут быть, например, 9+9 или 8+10. На общее среднее арифметическое это не влияет., поэтому можео считать, что все положительные числа это 9, а все отрицательные - это -18.  Предположим, что положительных и отрицательных равно по количеству. Тогда их среднее арифметическое было бы равно (-18+9)/2=-4.5  Что больше чем фактическое срдеднее арифметическое. Значит, положительных должно быть меньше, чем отрицательных, чтобы оно выполнялось. Но это при отстутствии нулей. Нули не влияют на среднее арифметическое по положительным и отрицательным, но уменьшает по абсолюту среднее арифметическое относительно того, что было бы без них. Т.о, если нули есть, то без них среднее арифметическое было бы по модулю еще больше, чем -5.
На этом решение можно считать законченным, хотя можно найти, насколько больше, посчитав пропорцию
От 9 до -5 расстояние 14, от -5 до -18 расстояние 13. Это и будет пропорция 13/14.
Т.е. на 13 положительных должно приходиться 14 отрицательных, но это при условии, что нулей нет. Если же нули есть, то пропорция будет отличаться в сторону большей разницы. Однако дальше проверять возможные значения не имеет смысла
                                                                              

Пусть у нас п чисел.
Сумма всех чисел тогда равна (- 5п) .
Пусть положительных чисел у нас а.
Отрицательных чисел пусть в.
Тогда:
9а-18в=-5п,или
18в-9а=5п, но а+в=п
18в-9а=5а+5в
13в=14а,(1),
поскольку а и в натуральные числа, то в>а
То есть, отрицательных чисел больше чем положительных.
Из равенства (1) видно первое решение в=14,а=13,но оно и единственное, если
п=<45.
Следующее решение а=26,в=28,даёт п=54,а это уже выходит за пределы заложенного п.