Учитель ставит ученику двойку, если в домашней работе решено менее 3 задач. Кроме того, если у двух учеников наборы решенных задач (независимо от порядка) совпадают, то учитель считает, что они списали, и ставит обоим двойку. В иных случаях учитель, так и быть, двойку не ставит.
Какое наибольшее число задач, которое злой учитель может задать на дом так, чтобы обязательно кто-нибудь получил двойку?

Нам предстоит решить  математическую задачу по теории вероятности для девятого класса.
Вспомним, что учитель достаточно злой и ставит двойки за домашнюю работу, если решено меньше трех задач, ну а если решение задач трех повторяется у учащихся , то то же ставит двойку, посчитав, что кто- то списал, но при этом не разбирается кто именно. Получается, учеников всего сорок человек и каждому необходимо прорешать три задачи и так чтобы не повторялась, учитель все равно кому-то обязательно поставит двойку.
Правильным ответом на задачу по математике будет число "5". И действительно, только пять задач учитель может задать на дом.
                                                                              

Вариант, что один из сорока учеников решил только две задачи из трёх - лишний (для запутывания), потому и не стоит его рассматривать.
А дальше идёт комбинаторика. Пускай множество {a1, a2, a3,...an} - уникальные задачи. Далее нам надо найти такое n (количество таких задач), чтобы количество всевозможных выборок было меньше количества учеников в классе (40) но и одновременно количество выборок было максимальным.
Тоесть C(3,n) < 40 и n - максимальное из возможных значений.
Дальше перебором.
n=3, C(3,3) = 3!/(3!*0!) = 1;
n=4, C(3,4) = 4!/(3!*1!) = 4;
n=5, C(3,5) = 5!/(3!*2!) = 10;
n=6, C(3,6) = 6!/(3!*3!) = 20;
n=7, C(3,7) = 7!/(3!*4!) = 35;
n=8, C(3,8) = 8!/(8!*5!) = 56.
Отсюда ответ - достаточно 7 задач, чтобы бы обязательно было как минимум 10 двоек (поскольку 5 наборов задач повториться, а двойка ставиться за повтор из условия задачи двум ученикам). Ежели взять уже 8 задач - двоек уже может и не быть вовсе. А количество учеников, которые решили только две задачи не указано, потому их может и совсем не быть.

Ответ: 7
Пояснение: Минимальное значение найти легко, но вот чтоб найти максимальное - нужно хорошо подумать. Пока отбросим тот факт, что если ученик сделает менее 3 задач, то получит 2. Рассмотрим другое условие.
Всего учеников 40, каждому нужно решить по 3 задачи минимум, при этом так, чтобы ни у кого наборы задач не повторялись. Для 6 задач таких наборов будет 20. Для 7 - 35. А для 8 - 56. То есть, если задач будет 8, то есть есть вероятность. что два не получит никто. Дать 7 с половиной задач она не может, поэтому ответ 7.

Как-то  не  нашел  в  условиях  задачи  количество  учеников  в  классе. А  без  этого  ответить  на  вопрос  о  максимальном  количестве  задач,  мне  думается,  будет  весьма  не  просто.
Попробуем  начать  с  самого  простого. Пусть  будет  всего  три  задачи  А, Б,  В.  Их  сможет  решить  без  двойки  только  один  ученик.  В  случае  с  двумя  учениками  двойки  получат  оба  (совпадут  наборы  решенных  задач).
Прибавляем  четвертую  задачу  Г.  Получаем,  что  четвертый  ученик  может  решить  задачу  Г  и  две  любые  другие  задачи  и  при  этом  получит  уникальный  набор.  Однако  и  третий  ученик  может  получить  уникальный  набор  из  той  же  задачи  Г  и  двух  других  (из  трех  задач).
Давайте  определим  все  возможные  уникальные  комбинации:
А, Б, В
А, Б, Г
А, В, Г
Б, В, Г
Таким  образом,  для  4  задач  максимально число  учеников  "без  двоек",  это  4.  Если  учеников  будет  пятеро,  то  либо  кто-то  решит  меньше  3  задач  и  получит  двойку,  либо  все  решат  по  3  задачи,  но  двойки  получат  сразу  двое  учеников,  у  которых  совпадут  комбинации. 
А  если  задач  не  4,  а  5,  добавилась  еще  Д.
Ранее  полученные  4  комбинации  у  нас  остаются.  Можно  так  же  ставить  Д  взамен  любой  другой в  имеющихся  комбинациях,  получая  еще  12  новых  комбинаций.  Однако  не  все  они  уникальные,  поскольку  "хвостики"  дублируются,  например,  есть  АБВ, а  есть  ГБВ.  Так  что  из  12  только  6  будут  уникальными.  Итого  получаем  10  уникальных  комбинаций.
Таким  образом,  если  учеников  будет  10,  то  5  задач  хватит  на  всех,  а  если  учеников  11,  то  двойки  в  этом  случае  обеспечены.
Ответ:  если  учеников  в  классе  5,  то  достаточно  задать  4  разных  задачи,  чтобы  обеспечить  хотя  бы  одну  двойку;  если  учеников  в  классе  11,  то  достаточно  задать  5  задач. 

Давайте мыслить логически: Если будет задано большое количество задач, то шансов поставить двойку будет минимум. Ученики просто выполнят каждый по 3 задачки и между собой оговорят, чтоб только по одной задаче было одинаковой у двоих учеников.
Тут вступает в дело комбинаторика.
![учитель ставит ученику двойку. Какое наибольшее число задач][1]
Зафиксируем под буквой n искомое число задач.
В этом случае получается, что всего комбинаций решённых задачек 2^n
Задача ни одна не разрешена - 1 комбинация, с одним решением - n, и наконец, решено две - n*(n-1)/2
Поясняю: первая задача появится в тетради с вероятностью n, соответственно, вторая - n-1 (так как первая уже взята)
если мы поменяем местами - получится та же формула, но для нас перестановка их местами роли не играет, мы эти комьинации считаем идентичными. Поэтому число комбинаций делим на 2.
Получается, мы уже учли все комбинации, при которых будут двойки.
получается, что из всех вариантов 2^n-1-n-n*(n-1)/2 должно быть меньше сорока ,чтоб хоть одному неуд да влепить.
Поскольку у нас присутствует степень, то неравенство 2^n-1-n-n*(n-1)/2 < 40 большим не будет
Подставляя по очереди цифры, останавливаемся на N=5
Если подставим 6, то получится 2^6-1-6-6*(6-1)/2=64-7-6*5/2=64-7-30/2=58-15=43, а это уже более 40
Таким образом, нужно всего пять задач максимум чтоб кого-то да завалить

По условию задачи имеем очень злого учителя, который получает большое удовольствие, когда ставит ученику двойку. И чтобы такую радость получать постоянно, учитель это так обставляет, что, как бы ученики не старались, всё равно кто-нибудь двоечку-то схлопочет. По формуле комбинаторики (7!/(3!*4!)=5040/144�=�35) учитель определил, что из сорока учеников в классе чтобы кто-нибудь получил двойку, нужно задать домашнее задание максимум из семи задач. Если задач на дом будет больше, то ученики могут сговориться и распределить задачи так, что двойку ставить будет некому. Если же домашнее задание будет составлять меньше семи задач, то двоечников будет намного больше. А совесть у учителя ещё есть, и этого он никогда не допустит.

Для решения задачи вспомним формулу комбинаторики о сочетании без повторений: n!/(m!*(n-m)!). Число должно быть меньше 40, чтобы не оставить шансов всем ученикам договориться. Возьмём 5 задач:
5!/(3!*2!)=120/12=10�.
Из 5 задач можно получить всего 10 различных сочений. Но по условиям нам нужно найти максимальное количество, поэтому продолжаем проверять.
Возьмём 6 задач: 6!/(3!*3!)=720/36=20�.
Проверим 7: 7!/(3!*4!)=5040/144=�35.
Теперь на всякий случай проверим 8, хотя уже понятно, что подходит 7: 8!/(3!*5!)=40320/720�=56>40, поэтому ответ 7.
Ответ: злому учителю достаточно дать на дом 7 задач, чтобы на следующий день хоть кому-то из класса поставить 2.

Ответ 3 задачи, учеников много обязательно кто нибудь не выполнит одну