В треугольнике АВС угол В=66°, а угол С=84°. Как найти ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 15?

Зная два угла треугольника не сложно посчитать третий. Угол ВАС равен 30 градусам.
Первое, что приходит на ум, это воспользоваться теоремой синусов.
ВС/sin(A)=2R
Но это в том случае если Вы помните эту формулу. Фигур много и соответственно всяких параметров и величин. Всего не упомнишь.
Попробуем решить задачу самостоятельно.
Центр описанной окружности лежит на пересечении перпендикуляров проведенных через середины сторон. Таким образом наш исходный треугольник АВС будет разбит на три равнобедренных треугольника  АОС, СОВ и ВОА.
Рассмотрим треугольник СОВ. Поскольку он равнобедренный, то углы при стороне ВС будут равны (Уг 2). Анологично и для других треугольников. Отсюда очевидно, что:
2*(Уг 1+ Уг 2+ Уг 3)=180 градусов. А также:
Уг 1+ Уг 2=84 градуса
Уг 2+ Уг 3=66 градусов
Получаем Уг 2= 60 градусов
Далее ВС/2=R*cos(Уг 2) Отсюда ВС=R
Если немножко поиграться, то можно построить график для R=15. Где видно, что при Уг 2=60 градусов, ВС будет равен тоже 15. При изменении угла значение ВС будет меняться от 2R до нуля.
                                                                              

По сумме всех трёх углов треугольника находим угол А, который оказывается равным тридцати градусам. Синус этого угла равен одной второй. Потом глядим на теорему синусов и там в самом конце фигурирует, что отношение стороны к синусу противоположного угла равно двум радиусам. После не очень сложных арифметических вычислений приходим к выводу, что нужная нам сторона треугольника точь в точь равна радиусу, то есть пятнадцати (то ли сантиметров, то ли мегапарсеков).