В школьном турнире по настольному теннису принимали участие 15 школьников. В рамках турнира каждый школьник должен был сыграть с каждым ровно один раз. Спустя некоторое количество игр оказалось, что любые две девочки-участницы сыграли разное количество партий с мальчиками-участниками. Какое наименьшее количество мальчиков могло участвовать в турнире?

Так как количество участников 15 - нечётное число, то девочек и мальчиков поровну быть не может.
Рассмотрим вариант, когда девочек больше чем мальчиков. Пусть мальчиков будет N
Тогда, чтоб девочки сыграли разное количество партий, каждая должна сыграть с разным количеством мальчиков.
1-я с 1 мальчиком, 2-я с двумя мальчиками, 3-я с тремя мальчиками и т.д. N-я с N мальчиками. Вроде как N девочек. Но (N+1)-я девочка может сыграть с 0 мальчиками.
Получили, что при N+1 девочке и N мальчиках такой вариант возможен.
Если девочек больше, чем N+1, то начиная с N+2 девочки (по принципу Дирихле) она сыграет "повторное" количество игр с мальчиками. Так как все возможные количества N+1 игр уже распределены.
Получаем 7 мальчиков и 8 девочек. Меньше мальчиков нельзя.
Ответ: 7
                                                                              

Количество игр можно найти по формуле :
К=п(п-1)/2,где п число участников.
У нас будет 15*14/2=105 игр.
Девочек пусть х.
Пусть было сыграно пока А игр.
0+1+2+3+4+5+6+7+8=36--это сыграно разное количество партий с мальчиками.
Первая девочка не играла с мальчиками вовсе.
Вторая девочка сыграла одну партию с одним мальчиком.
И так далее :
Восьмая девочка сыграла с каждым из 7 мальчиков по партии.
Ответ:минимально было 7 мальчиков