Было бы нелишним выяснить. В треугольнике mnk из вершины N проведена высота ns так,что точка s принадлежит отрезку MK, угол MNS = NKS углу. Найди сторону MN если MS = 6, SK = 18

Обозначим стороны треугольника MNK как MN = x, NK = y, MK = z.

Так как MS = 6 и SK = 18, то MK = MS + SK = 6 + 18 = 24.

Так как угол MNS = углу NKS, то треугольники MNS и NKS подобны. Следовательно, MN / NK = MS / SK = NS / KS.

Из подобия треугольников получаем:
x / y = 6 / 18,
x / y = 1 / 3,
x = (1/3)y (1)

Также заметим, что треугольник MNK является прямоугольным, так как нас интересует высота треугольника. Значит по теореме Пифагора получаем:
MN^2 + NK^2 = MK^2,
x^2 + y^2 = 24^2,
x^2 + y^2 = 576 (2)

Подставим выражение (1) в выражение (2):
(1/3)y^2 + y^2 = 576,
4y^2 / 3 = 576,
4y^2 = 1728,
y^2 = 432,
y = √432,
y = 6√3.

Теперь подставим найденное значение y обратно в выражение (1):
x = (1/3)(6√3),
x = 2√3.

Итак, стороны треугольника MNK равны:
MN = 2√3,
NK = 6√3.
-------
Для решения построим рисунок (https://bit.ly/3TOf8CY).

Пусть угол NKM = X, Тогда угол KNM = (90 – X), Угол МNK = (X + 90 – X) = 90.

Тогда треугольник МNK прямоугольный.

NS^2 = MS * KS = 6 * 18 = 108.

MN^2 = MS^2 + NS^2 = 36 + 108 = 144.

MN = 12 см.

Ответ: MN = 12 см.