В остроугольном треугольнике ABC точка D выбрана на стороне AB так, что (угол)DCA=45(градусо�в). Точка D' симметрична точке D относительно прямой BC, а точка D'' симметрична точке D' относительно прямой AC и лежит на продолжении отрезка BC за точку C. Доказать, что (угол)DCB=30(градусо�в). Найти площадь треугольника ABC, если BC=V3CD'' (корень 3 CD) и AB=4.

Для треугольника CDD' ВС является высотой и медианой, значит и бисектрисой.
Аналогично продолжение стороны АС до пересечения с DD" в точке Е также является медианой, высотой и биссектрисой. CD =CD' = CD".
Угол DCB=x. DCD'=2x; ACD=ECF=CFE = 45.
FCD"=DCB=x; CFD" = 180-45=135;
CD"F = 180 - CFD" - FCD" =180-135-x=45-x;
CD'D"=CD"D' = CD"F=45-x
DD'C=90-x 1
DD'F =CD'D"+DD'C = 45-x+90-x =135-2x
D'DF=180 - DD'F-DFD'= 180-135+2x-45=2x
Но с другой стороны мы уже видели в 1, что он равен 90-x
2x = 90 - x; x = 30, что и требовалось доказать.
Переходим к нахождению площади.
DGC - прямоугольный треугольник с углом С, равным 30 градусов. Его катет GC, выраженный через гипотенузу GC = DC * sqrt(3)/2. По условию ВС в два раза больше. Таким образом у треугольника CDB DG одновременно и высота и медиана. Значит треугольник CDB равнобедренный, и угол DBC равен 30 градусов. Угол АВС равен 30+45=75 градусов, на угол ВАС остаётся тоже 75 градусов. Оказывается, что и треугольник АВС тоже равнобедренный, и в нём мы знаем основание и углы. Высота треугольника будет равна 2*tg 75, площадь 4*tg 75.
Можно оставить выражение для площади в таком виде, можно посчитать приблизительно 14,93, но если будет много свободного времени, то выразить через радикалы, поскольку tg 75 = 2 +sqrt(3).