В выпуклом четырёхугольнике ABCD: (угол)BAC=20(градусо�в), (угол)BCA=35(градусо�в), (угол)BDC=40(градусо�в), (угол)BDA=70(градусо�в). Найдите угол между диагоналями четырёхугольника. В ответе укажите меньший из двух образовавшихся углов.

Точку пересечения диагоналей обозначим за F.
Пусть угол AFD = BFC= x, значения остальных углов можно найти из сумм углов треугольников, и я их обозначил на рисунке
Пусть АС = а; тогда по теореме синусов
из треугольника АВС
AB/sin 35  = a/sin 125 = BC/sin 20
AB = a sin 35 / sin 125 = a tg 35
из треугольника ABD
AD/sin(x-20) = AB/sin 70 = a tg 35 / sin 70
AD = a sin(x-20) tg 35 / sin 70
из треугольника ACD
AD/sin(x-40)=a/sin 110
AD = a sin(x-40)/sin 110
Приравниваем AD, учитывая, что sin 70 = sin 110
sin(x-20) tg 35 = sin (x-40)
(sin x cos 20 - cos x sin 20) tg 35 = sin x cos 40 - cos x sin 40
sin x (cos 20 tg 35 - cos 40) = cos x (sin 20 tg 35 - sin 40)
tg x = (tg 35 sin 20 - sin 40)/(tg 35 cos 20 - cos 40)
x = 75 градусов (если разрешат пользоваться Брадисом или калькулятором)
                                                                              

Ох, какое тяжёлое решение у тов. Котёночкина. И доступно только для 10й класс +.
Может, в этой задаче удобный частный случай? Давайте, поищем его.
Предположим, AD параллельна ВС.
Воспользуемся рисунком Котёночкина. И все углы выразим через х, как у него.
Накрест лежащие углы при параллельных прямых должны быть равны. Приравняем углы ВDА и СВD, найдём х.
Так же приравняем углы ВСА и САD, и тоже найдём х.
Если два найденных икса равны, то прямые действительно параллельны.
Проверяем нашу гипотезу:
1) ВDА=СВD ; 70=145-х ; х=75.
2) ВСА=САD ; 35=110-х ; х=75.
Получилось! Прямые AD и ВС действительно параллельны.
х=75.
Можно сделать проверку: посчитать все углы. Во всех треугольниках сумма углов 180 градусов. Всё сходится.
Ответ: 75 градусов.