Вписанная в треугольник АВС окружность с центром в точке О касается стороны ВС в точке К. Окружность с центром в точке О₁ касается стороны ВС в точке L, а также касается продолжения сторон АС и АВ.
А) Докажите, что BL=CK.
Б) Найдите расстояние ОО₁, если известно, что AC=7, BC=24, AB=25.

вопрос А)
для доказательства, воспользуемся свойством равенства длин касательных, проведенных к одной окружности из точки, лежащей вне данной окружности
в нашем случае, получаем равенства:
AP=AF, AT=AH, CP=CK, CH=CL, BL=BT, BF=BK
при этом: АT=AF+BF+BT=AF+BK+BL�=AF+(BC-CK)+BL
помимо этого: AH=AP+CP+CH=AF+CK+CL�= AF+CK+(BC-BL)
вспоминаем, что AT=AH, получаем:
AF+(BC-CK)+BL = AF+CK+(BC-BL) после сокращений, получаем:
2*BL=2*CK
следовательно: BL=CK
вопрос Б)
по теореме косинусов:
BC² = АВ² + AC² - 2AB*AC*cosα  (где α=∠BAC)
cosα = (АВ² + AC²- BC²)/(2AB*AC) = 98/(14*25)=7/25
следовательно sinα = 24/25
далее по формуле косинуса двойного угла получаем
2cos²(α/2) - 1 = cosα
cos²(α/2) = 16/25
cos(α/2) = 4/5
следовательно: sin(α/2) = 3/5, tg(α/2) = 3/4
площадь треугольника ∆АВС равна:
S=1/2*AB*AC*sinα=25*�7*12/25=84
далее, по формуле радиуса вписанной окружности:
r = 2*S/P=2*84/(25+24+7)�=3 (где Р - периметр треугольника ∆АВС)
вспоминаем, что AP=AF
а также r/AF=tg(α/2)
AF = r/tg(A/2)=3*4/3=4
CP=CK=AC-AP=7-4=3
AT=AB+BT=AB+CK=25+3=�28
ОО₁=(AT-AF)/cos(α/2)=(28-4)*5/4=30