Плоскости двух несмежных боковых граней правильной четырехугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, а апофема равна 24. Найдите сторону основания.

Если в такой пирамиде провести секущую плоскость через вершину и апофемы двух противоположных боковых сторон, то в сечении получится равнобедренный прямоугольный треугольник. Равнобедренный - потому что пирамида правильная и апоферы всех боковых сторон равны друг другу. Прямоугольный - потому что противоположные боковые грани, по условию, перпендикулярны.
Ну а дальше совсем просто - есть равнобедренный прямоугольный треугольник, боковая сторона которого равна 24. Найти тут основание треугольника - фигня вопрос, причём это основание, опять же в силу правильности пирамиды (т. е. в основании пирамиды - квадрат) равно стороне основание пирамиды.