Верно ли утверждение: если две прямые в пространстве перпендикулярны в третьей прямой, то эти прямые параллельны? Верно ли это утверждение при условии, что все три прямые лежат в одной плоскости?

Ответ на 1 вопрос, про ситуацию в пространстве: Неверно.
На рисунке показана плоскость, в которой лежит несколько прямых, совсем не препендикулярных друг другу.
А перпендикулярно к этой плоскости проведена жирная прямая.
Все прямые в плоскости перпендикулярны к это прямой, потому что сама прямая перпендикулярна к плоскости.
Ответ на 2 вопрос, про ситуацию в плоскости: Верно.
Если несколько прямых на плоскости перпендикулярны к одной прямой на той же плоскости, то эти прямые параллельны.

И только в случае нахождения всех трёх прямых в одной плоскости заданное утверждение будет верным, то есть если каждая из прямых перпендикулярна к третьей прямой, то первоначально названные прямые попросту параллельны между собой.
Но если они , все 3 прямые не лежат в одной плоскости, всегда найдётся случай доказать, что исходное утверждение не верно.

Это утверждение неверно, если исходные прямые лежат в разных плоскостях.
Это утверждение верно.

К третьей прямой. Да верно. Надеюсь геометрию Лобачевского мы не затрагиваем))