Один момент остается неясным. Найдите производную функции y=x^√x в точке x_0=4.

У = Х^(√Х).

Прологарифмируем обе части:

У'/У = (√Х * lnX)'.

У' = (√Х)' * lnX + √Х * (lnX)' = (1/2 * √Х) * lnX + √Х * (1/X).

У'(4) = (1/2 * √4) * ln4 + √4 *(1/4) = (1/4) * ln4 + (1/2) = 1/2 * (ln4/2+ 1).

Ответ: 1/2 * (ln4/2+ 1).