В школьной лаборатории на двух однотипных пружинах подвесили металлическую пластину 123 Х 234 мм прямоугольной формы, как изображено на схеме слева. При этом одна пружина удлинилась 81, а другая на 41 мм. Затем дополнительно к пластине добавили еще точно такую же пластину, скрепив их воедино, как изображено на схеме справа. В результате суммарное удлинение пружин увеличилось в два раза. Но вопрос стоит в определении удлинения каждой из пружин от начального положения (свободного состояния).

Вставная нить влияет на распределение веса пластины между пружинами за счет отклонения ее от горизонтального положения. Данных значений в условии достаточно для определения ее длины s.
Разберем решение задачи в общем виде (см. левый рис.). Обозначим ширину и длину пластины соответственно через (b) и (а), а удлинение пружин - L₁ и  L₂.  Длина вставной нити s слагается из разности удлинения пружин n₁ = L₁ - L₂  и h - наклона пластины
s =  n₁ + h (1).
Отвесная линия, проходящая через точку крепления левой пружины к пластине, является диагональю прямоугольника, выделенного синим цветом со сторонами b и с. Следовательно, этот участок пластины полностью удерживается этой пружиной. Вес участка пластины, закрашенного зеленым цветом, распределен между двумя пружинами поровну, так как симметрично расположен относительно их. Толщина пластины равномерна, поэтому вес частей пластины пропорционален площадям окрашенных участков. Тогда растяжение пружин тоже пропорционально этим площадям
L₁/L₂ =(bc+(ba-bc)/2)/((ba�-bc)/2)  .
После преобразования относительно (с) имеем
c = а(L₁ - L₂)/(L₁ + L₂)
Сократим запись формулы заменой (L₁ - L₂) = n₁ , (L₁ + L₂) = m₁
c = а*n₁/m₁ (2).
Определяем длину диагонали d синего прямоугольника
d = √(b²+с²) = √(b²+ (а*n₁/m₁)²) (3).
На основании подобия треугольников составляем пропорцию
с/d = h/а, откуда h = с*а/d (4).
Полученные величины h, с, и d вставляем в выражение (1) и преобразуем
s =  n₁ + а²/√((b*m₁/n₁)² + а²) (5).
Вычисляем длину вставной нити
s =  40+ 234²/√((123*122/40)² + 234²) ≈ 183,8413 (мм).
Первую часть задачи решили.
На рисунке справа второй вариант расположения утяжеленной в два раза пластины. В принципе он ничем не отличается от первого. Если бы были известны удлинения пружин L₃ и  L₄, можно было, используя формулу (5) аналогично вычислить длину вставной нити. Получили бы тот же результат - s ≈ 183,8413 (мм). Но в данном варианте по условию неизвестна величина n₂.
Запишем уравнение (5) иначе
s - n₂ - а²/√((b*m₂/n₂)² + а²) = 0 (6).
Приведя его к стандартному виду относительно неизвестной n₂, получим уравнение четвертой степени. Воспользовавшись онлайн калькулятором можно найти его корни.
Несложно вычислить значение n₂ в Excel, просто подбором походящего по точности значения, вводимого в (6). Но мне более импонирует метод последовательных приближений (итераций), в частности - метод секущих. С точностью четвертого знаки после запятой n₂ = 62 (мм). Далее составляем систему
L₃ + L₄ = 244,
L₃ - L₄ = 62.
В результате решения имеем L₃ = 153 мм, L₄ = 91 мм.

Задача оказалась до обидного простой. А вот задача, производная от этой задачи, которую я придумал, но вряд ли смогу её решить.
В рисунке, приведённом здесь слева, применительно к моей задаче следует исключить пружины, а вертикально направленные нити прикрепить к неравноплечему рычагу, расположенному горизонтально.
Задача. Металлическая пластина размерами 123 Х 234 мм прямоугольной формы висит неподвижно на вертикально расположенных нитях неодинаковой длины, которые прикреплены к неравноплечему рычагу (коромыслу), расположенному горизонтально. Одно плечо рычага длиннее другого в 1,98 раз. Найти разность длин нитей.
Не считаю возможным поместить эту задачу в качестве самостоятельного вопроса, потому что, во- первых, идею мне подсказал своей задачей Vasil Stryzhak, во-вторых, решение основной задачи (сегодня 07.06.2017) ещё не опубликовано, и мою задачу можно рассматривать как подсказку.

Если точки подвески пружин к потолочной баке не изменились, то решение очень простое, левая пружина растянется на 81*2 =162 мм, правая на 41*2 = 82 мм.