В определенный момент времени согласно солнечным часам наступил полдень. Через 13 часов уже Луна освещала циферблат солнечных часов,  так как наступила ночь, при этом тень от гномона (стержня) проходила по линии 10 часов. Луна совершает полный оборот вокруг своей оси за 27,32 суток, а система Земля-Луна вокруг Солнца за - 365,25 суток.  Пусть выше названные объекты Солнечной системы имеют круговые орбиты в одной плоскости.

В этой "новой" гелиоцентрической системе с лунной и земной орбитами, лежащими в одной плоскости, Луна бы за месяц точно повторяла путь Солнца по эклиптике, и каждый раз мы бы имели возможность наблюдать вместо новолуния солнечное затмение, а вместо полнолуния - лунное. Но, конечно, это всего лишь условное допущение.
Если взять солнечные часы за систему угловых координат и направление на юг за нулевую ось, то на 10 часов ночи Луна располагается под углом 360°-30° = 330°, а Солнце 13*15° = 195° (за один час небо поворачивается на 15°). Угол между ними составляет 330°-195° = 135°. Когда угол между двумя светилами равнялся 180° - это было полнолуние и оно прошло. Таким образом, до выстраивания линии Солнце-Луна-Земля остаётся 135°/360° = 0,375 лунного цикла.
Сидерический месяц, равный 27,32 суткам в расчёт не берём, так как за один оборот Луны вокруг Земли, Солнце смещается по эклиптике восточнее и требуется ещё 2,2 суток до наступления новолуния. Средний синодический месяц равняется 29,53 суткам.
Получаем 29,53*0,375 = 11 суток.
                                                                              

Если бы Луна освещала циферблат солнечных часов и при этом тень от гномона (стержня) проходила по линии 12 часов, то это обозначало бы, что сейчас полнолуние (при условии прошествии 13 часов после полдня, т.е в 1час ночи). А так как гном показывает 10 часов, т.е на 15*2=30 градусов меньше, то до полнолуния осталось 27*30/180=4,5суток. Поэтому новолуние должно наступить через 27/2+4,5=18 суток.
Ответ: новолуние наступит через 18 суток.

Для наглядности  решения задачи воспользуемся схемой экваториальных солнечных часов, в виду равномерности шкалы времени.
В полдень Солнце располагалось на юге или  относительно циферблата на линии 24 часов. Через 13 часов оно уже было за горизонтом примерно в направлении севера, а относительно циферблата на линии 13 часов. В этот момент времени светит Луна, тень от гномона проходит по линии 10 часов. Тогда Луна находится на линии 22 часов. Так как она движется по небосводу против часовой стрелки, несложно подсчитать, удалена относительно Солнца на 15 часовых делений, что соответствует 15/24 доли окружности (на схеме коричневой дуге). Следовательно, до новолуния остается ей преодолеть по небосводу путь в 9/24 доли окружности (зеленая дуга).Теперь следует вычислить длительность (Т) синодического месяца, то есть время, протекающее между двумя новолуниями. Луна вращается вокруг своей оси в том же направлении, что и Земля вокруг Солнца. В течение года система Земля-Луна сделает ровно один оборот относительно Солнца. В результате количество синодических месяцев в году будет на один меньше за число оборотов Луны вокруг своей оси (сидерических месяцев) за указанное время.
Т = 365,25/(365,25/27,32 -1) = 29,5...
Определяем количество суток  до новолуния
29,5 х 9/24 ≈ 11 (суток).