Между двумя деревьями свисает гибкая лиана длиной 80 м.
Её концы закреплены на высоте 50 м, а самая низкая её точка находится на высоте 10 м.
Каково расстояние между её концами?

Расстояние между объектами равно нулю.
Мы знаем, что длина лианы составляет 80 метров. Начало находится в 50 метров от земли, а расстояние от земли до лианы составляет 10 метров. То есть, от точки крепления до низшей точки лианы 50 - 10 = 40 метров.
Выходит, что никакого запаса нет. Сначала лиана идет вниз, а затем вверх. 40 + 40 = 80 метров. Никакого запаса на провисание попросту нет.
Если бы низкая точка находилась в иной расстоянии от земли, но больше 10 метров, то тогда можно было бы говорить, что между началом и концом есть некое расстояние и лиана провисает. А расстояние между землей и самой низкой точкой быть не меньше 10 может, если концы зафиксированы на указанной высоте.
                                                                              

Ну че, конечно Чосик прав, он решил это в 1 формулу, однако тут так много неверующих, специально для них)
И еще вопрос был - какое расстояние между ее концами - ответ нуль)
Удивительно то, что физически такое невозможно, ибо получается что два конца лиана, скреплены в верхнем узле, и натянуты в нижнем, т.е. лиана сильно натянута, но при этом у нее отсутствую деформации, ибо длина после натяга равна первоначальной, либо же натяг уже учитан, а значит общая длина лианы это длина до деформации + удлинение из-за натяга лианы, тогда задача очень даже физична, а также это тот самый случай про две прямые)

Я бы использовал формулу длины эллипса. L = Пи(а+в). L в нашем случае это две длины лианы - 160м. а и в - это полуоси эллипса. Одна из них нам известна, это разница по высоте между концами лианы и ее низшей точкой (50-10). А вот длина другой полуоси будет половиной искомого расстояния.
160= (1/2х + 40)Пи
160/Пи - 40 = 1/2х
х = 320/Пи - 80. Т.е искомое расстояние примерно 21,91м.

Гибкая лиана между двумя точками подвеса будет образовывать цепную линию, описанную Лейбницем, Гюйгенсом и Бернулли в 1691 году. Её уравнение имеет вид
y = a ch(x/a),
если ввести координаты как на рисунке
В нашем случае а = 10, а длина линии 2S = 80, найти же нам нужно величину 2l. Длина цепной линии находим интегрированием
Таким образом,
s/a = sh (l/a) -> (l/a) = arcsh (s/a).
Если не ошибся с расчётом на инженерном онлайн-калькуляторе, искомое расстояние между деревьями будет 41,9 метра.

Мне кажется, что между деревьями вообще нет никакого расстояния, они растут вплотную, ствол к стволу. А между ними лиана длиной 80 метров на высоте 50 метров. И до земли она не дотянула 10 метров. То есть 40 метров она сползает по одному дереву и сразу же поднимается 40 метров по другому дереву.

Внимательно прочитал условие ещё раз и вынужден согласиться с Чосиком - задача имеет единственное решение только при совпадении точек подвеса, т.е. нулевом расстоянии между деревьями. Либо исходные данные (длина лианы 80 метров, глубина провисания 40 метров) неверны.

Этот " вопрос"--- типичная провокация. То, что теперь называют фейк. Деревья по 50 метров и лиана  -- 80. Эта задача не имеет решения, потому что ее условие абсурдно.

Нарисовал рисунок, получается натяжка идет под углом 45 грудусов, тем самым расстояние между деревьями 80/корень из 2 или ~ 56,57 м