На доске написаны 10 единиц и 10 двоек. За ход можно стереть две любые цифры и, если они были одинаковыми, написать 2, а если разными — 1. Если последняя оставшаяся на доске цифра — 1, то выиграл первый игрок, если 2 — то второй. Кто при правильной игре выиграет?

Первому игроку выгоднее стирать разные цифры, а второму - наоборот, одинаковые, причём ему выгоднее стирать единицы.
После одного хода первого игрока и одного хода второго будут стёрты цифры 1, 2, 1 и 1, но появятся цифры 1 и 2. Как видно, в итоге двоек останется по прежнему 10 штук, а единиц - только восемь.
Следующая пара ходов уменьшит единиц ещё на две.
Таким образом, все единицы после пятой пары ходов будут стёрты, останутся только двойки. Далее первый игрок вынужден будет тоже стирать одинаковые цифры.
Выигрывает второй игрок.