На товарищеском турнире школьников по шахматам каждый школьник сыграл с каждым другим не более одной партии, кроме того, каждый из них сыграл с приглашённым гроссмейстером не более одной партии. Всего было сыграно 35 партий. Какое наименьшее количество школьников могло участвовать в этом турнире? Запишите решение и ответ.

Расчёты показывают, что если шахматистов 8 человек (7 никак не может быть), то должно быть сыграно 36 партий при условии, что каждый шахматист сыграл с каждым другим ровно по одной партии и каждый сыграл с гроссмейстером тоже по одной партии. У нас же в условии 35 партий. Но сказано, что "каждый школьник сыграл с каждым другим не более одной партии" и "каждый из них сыграл с приглашённым гроссмейстером не более одной партии". И тут начинается семантика.
С одной стороны "не более одной" можно понимать, что проходит и понятие "ни одной", то есть кто-то мог не сыграть с гроссмейстером, или кто-то двое не сыграли между собою, тогда и сводится общее количество партий к 35.
Но с другой стороны, как гвоздями прибито к смыслу действие "сыграл" - "каждый школьник сыграл с каждым другим..." и "каждый из них сыграл с гроссмейстером...", что семантически сводит понятие "не более одной партии" к твёрдому понятию "одна партия".
Вот если бы было сказано в условии, что кое-кто из школьников сыграл с кем-то из других школьников не более одной партии (понимается при этом, что кто-то с кем-то мог и не играть) и то, что кое-кто из них сыграл с гроссмейстером не более одной партии (понимается при этом, что кто-то мог и не играть), тогда количество сыгранных партий могло получиться 35, а так - получается противоречие в условии.   
                                                                              

Не ищем легких путей, поэтому составим уравнение:
(x * (x-1))/2 + x = 35
Здесь сложено количество игр школьников между собой и по 1-й игре с гроссмейстером. При решении получим квадратное уравнение:
(x^2 - x)/2 + x = 35
x^2 /2 - x/2 - 35 = 0
Найдем его корни x1 = 7.88 и x2 = -8.88. Удовлетворяет условию первый корень, округлим его и получим 8.
Подставив 8 в уравнение, получим 36. Так как с гроссмейстером было сыграно не более одной партии, в нашем случае 1 школьник с ним не играл, что не противоречит с условием.
Ответ: как минимум 8 школьников могло участвовать в турнире.