Дисперсия числового набора равна 4. Каждое число набора умножили на 2,5, а затем увеличили на 3. Найдите дисперсию полученного набора.

Под дисперсией числового набора понимаем среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего арифметического набора данных.
Вычислим среднее арифметическое:
Acp=(A₀+A₁+A₂+A₃+....+Aₙ₋₃+Aₙ₋₂+Aₙ₋₁+Aₙ)/n
Рассмотрим как изменится среднее арифметическое при умножении каждого элемента на m и последующем увеличении на f
Acpₘ=(mA₀+f+mA₁+f+mA₂+f+mA₃+....+mAₙ₋₃+f+mAₙ₋₂+f+mAₙ₋₁+f+mAₙ)/n
Вынесем за скобки множитель m
Acpₘ=m(A₀+A₁+A₂+A₃+....+Aₙ₋₃+Aₙ₋₂+Aₙ₋₁+Aₙ+fn)/n=mAcp+f
Каждое отклонение
aᵢ=Aᵢ-Acpₘ
Дисперсия набора данных выразится формулой
D=(Σaᵢ²)/n
В полученном наборе отклонение
mAᵢ+f-(mAcpₘ+f) =m(Aᵢ-Acp)=maᵢ
Квадрат отклонения равен
m²aᵢ²
Сумма всех отклонений нового набора данных равна
Дисперсия нового набора данных выразится формулой
Dₘ=m²(Σaᵢ²)/n=m²D
Дисперсия набора данных, в котором элементы умножены на некоторый множитель, будет равна дисперсии исходного набора данных умноженного на квадрат множителя.
Множитель равен m=2,5, а дисперсия равна D=4.
В полученном наборе данных Dₘ=m²D=2,5²×4=6,25×4=25
Ответ: дисперсия полученного набора данных равна 25.
                                                                              

Данная задача не сложная, на понимание определения дисперсии числового ряда и её свойств.
Дисперсия характеризует разброс значений ряда. Чем больше разброс, тем больше дисперсия и наоборот, чем меньше разброс, тем меньше дисперсия.
Давайте начнем со второго действия.
Представьте некий ряд и у него есть свой разброс значений. А теперь каждое число увеличили на одну и ту же константу. То есть весь ряд увеличился одинаково. Но изменился ли разброс между числами (то есть разница между числами). Никак не изменилась. Разброс остался тем же.
Отсюда свойство что D(X+C) = D(X)
То есть в результате второго действия: увеличение каждого числа набора на константу 3 никак не изменит дисперсию и потому второе действие нас уже не интересует.
Теперь рассмотрим умножение каждого числа ряда на константу. А вот тут если будем умножать на некое число более 1 то ряд будет увеличивать разброс, а умножение на число менее 1 будет уменьшать разброс.
Но как же конкретно будет меняться показатель дисперсии. А вот тут надо знать, что это квадрат среднеквадратичного отклонения. То есть она пропорциональна квадрату значений
И вот тут следующее свойство
D(с•Х) = с² • D(X), где с - константа на которую умножают каждое число ряда
Это можно вывести самим, зная как считается дисперсия (разница между средним арифметическим квадратов ряда и квадратом среднего арифметического; Тут везде дополнительный множитель будет возведен в квадрат и его можно вынести за скобки из всех сумм.
Тогда получаем, что искомая дисперсия D(2,5•X + 3) = 2,5²•D(X) = 6,25•4 = 25
Ответ: 25
Расписывал долго, хотя как видим задание решается в 1 строку (в конце)