Ярослав в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,4 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее число патронов нужно дать Ярославу, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,85?

Вероятность составляет то, что Ярослав имея 100 патронов попадёт 40 раз, а 60 промахнётся. А ему нужно 85 раз попасть из 100 и 15 промахнуться. Здесь геометрическая прогрессия. Смотрю формулу и составляю уравнение:
Sn = (b1(g^n - 1))/(g-1). Подставляю числовые значения:
0,85 = 0,4(1 - 0,6^х)/(1 - 0,6). 1 - 0,6 = 0,4. Сокращаю на 0,4 и вычисляю:
0,85 = 1 - 0,6^х
0,6^х = 0,15.
х ~ 3,7138.
Проверка:
0,6^3,7138 = 0,15000236752 Сходится. Проверка завершилась успешно.
Но патроны должны быть целыми. Значит выбираю ближнее значение от недостающее целого. 3,7138 приближено к 4.
Мой ответ: наименьшее число патронов нужно дать Ярославу, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,85 - это 4 патрона.
                                                                              

Решение перебором. Идем по порядку.
Ярославу дали 1 патрон.
Вероятность, что поразит мишень = 0,4 < 0,85. Мало 1 патрона
Ярославу дали 2 патрона.
Вероятность, что поразит мишень с первого выстрела = 0,4
Вероятность, что поразит мишень со второго выстрела (значит первый промахнулся, а второй попал) = 0,6•0,4 = 0,24
Итого 0,4 + 0,24 = 0,64 < 0,85. Мало 2 патронов
Ярославу дали 3 патрона
Вероятность, что поразит мишень с первого выстрела = 0,4
Вероятность, что поразит мишень со второго выстрела = 0,6•0,4 = 0,24
Вероятность, что поразит мишень с третьего выстрела = 0,6•0,6•0,4 = 0,144
Итого 0,4 + 0,24 + 0,144 = 0,784 < 0,85. Мало 3 патронов
Ярославу дали 4 патрона
Вероятность, что поразит мишень с первого выстрела = 0,4
Вероятность, что поразит мишень со второго выстрела = 0,6•0,4 = 0,24
Вероятность, что поразит мишень с третьего выстрела = 0,6•0,6•0,4 = 0,144
Вероятность, что поразит мишень с четвертого выстрела = 0,6•0,6•0,6•0,4 = 0,0864
Итого 0,4 + 0,24 + 0,144 +0,0864 = 0,8704 > 0,85. 4 патрона достаточно.
Ответ: минимально необходимо 4 патрона.
2-е решение
Можно заметить что получится геометрическая прогрессия где первый член b₁ = 0,4; знаменатель прогрессии q = 0,6; И надо найти при каком n, сумма S(n) > 0,85
Сумма геом. прогрессии S(n) = b₁•(1-qⁿ)/(1-q)
S(n) = 0,4•(1-0,6ⁿ)/(1-0,6) = 1 - 0,6ⁿ > 0,85
-0,6ⁿ > -1+0,85
0,6ⁿ < 0,15
n ≥ 4
Факультативно q<1, значит прогрессия убывающая. А сумма всех членов убывающей прогрессии S = b₁/(1-q) = 0,4/(1-0,6) = 1 - это как раз вероятность всех событий. 

Поскольку два выстрела дают вероятность поражения мишени:
0.4 + 0.4 = 0.8 < 0.85,
а три выстрела дают вероятность поражения мишени:
0.4 + 0.4 + 0.4 = 1.2 > 0.85,
то Ярославу нужно минимум три патрона для поражения мишени с вероятностью не менее, чем 0.85
Ответ: три патрона.