Однажды мне показалось, что y=x^2 - не парабола. Пожалуй, сам Аполлоний засомневался бы. Так всё-таки, парабола или нет?

Это вопрос уже решен автором по имени Александр Рябов. Поэтому я не буду "плагиатить" и его формулы переписывать по-своему. Тем более здешний текст для формул не предусмотрен и это сплошное мучение. Хотя решение не сложное. Вот только корни квадратные тут не нарисуешь. Проще выставить то, что уже сделано.
                                                                              

Y=x^2 это функция, точнее частный случай функции, график которой будет парабола.
Сама по себе парабола это кривая, точки которой равноудалены от прямой, которая является директором параболы и одновременно от начальной точки, именуемой фокусом параболы.
Параболой будет график функций вида y=ax^2 + c, в которых, если задано c, то фокус параболы будет не в 0;0, а в C;0
Также параболами будут графики функций вида y=ax^4 + c, y=ax^6 + c, тут главное, чтобы степень была четная.
При нечетной степени на графике получится фигура наподобие параболы, отрицательная часть которой уйдет резко в минус, потому что при нечетном количестве перемножений отрицательного числа получится тоже отрицательное число.

Поднимаю вопрос. Так как сама постановка вызвала неприятие, то даю пояснение. Докажите, что аналитическое определение параболы (в нашем случае с помощью формулы y=x^2) действительно задаёт параболу, как геометрическую фигуру со свойствами параболы.
Ситуация на самом деле критическая. Учитель сообщил на уроке, что парабола - это график функции y=x^2. Ученик Петя, которого папа-инженер научил строить параболу с помощью линейки и угольника, не поверил учителю и стал задавать лишние вопросы.
За что педантичный учитель пообещал поставить Пете двойку и вызвать родителей в школу. Как папе доказать учителю, что тот не прав? И что не двойку следует ставить, а заняться на факультативе изучением свойств параболы. Вознаграждение за лучший ответ увеличено до 20 баллов

Параболой называется квадратичная функция y=ax^2+bx+c, где a не равно 0.
В случае y=x^2, a=1, следовательно y=x^2, это тоже парабола.
Минимум в 0;0.
Пересекает оси координат в 0;0.
Корень один = 0.
Функция всегда принимает значения>=0.

Во многих учебниках написано, что функция вида у = а * х^2 + b * x + с, (1)является квадратичной, а график её функции в системе координат XOY является квадратичной параболой.
Однако в вопросе вид функции У = х^2, и это частный вид функции (1), при постоянный коэффициентах а = 1, b = 0; с = 0.
Так что ответ на вопрос: "Y=x^2 - это парабола?" Ответ: Да, парабола.