Доказать, что из любого тридцатизначного числа можно так вычеркнуть несколько цифр (но не все), что оставшееся в результате число будет кратно 101.

Если тридцатизначное число содержит в себе хотя бы одну цифру ноль, то можно вычеркнуть прочие 29 цифр, и тогда этот самый оставшийся в итоге ноль поделится без остатка на любое число, в т.ч. и на указанное в условии число 101.
Если нулей в тридцатизначном числе не содержится, то одна из цифр данного числа будет повторяться в нем как минимум четырежды. В этом случае оставляем четыре одинаковые цифры, вычеркивая все прочие. Получившееся число вида nnnn, где 0 < n ≤ 9, удовлетворят необходимому и достаточному условию делимости на 101.
И действительно, в нашем случае |nn - nn| = 0, стало быть, четырехзначное число nnnn без остатка делится на 101.
                                                                              

Ну если число содержит хотя бы 4 одинаковые цифры, то можно оставив только их получить число делящееся на 101.Например 8888:101=88. Если число содержит хотя бы один 0,то можно оставив только его получить число 0 делящееся на 101.Да и если число не содержит нулей,то хотя бы одна цифра будет представлена 4 раза.( Всего в числе-30 цифр,пусть используется 9 цифр, без 0,тогда каждая цифра используется 30/9=3,333..раза,что означает то что из четырёх цифр 3 цифры используются по 3 раза,а одна цифра 4 раза).Можно порешать задачу исходя из признака делимости на 101.В 30-значном числе будет 15 групп со знаком (+), и 15 групп со знаком (-) и сумма двухзначных чисел групп при нужном порядке знаков будет в пределах от 0 до 15*99=1485.Пусть эта сумма Х,тогда Х=101п+у, где п=0,1,2..14, а у 0---100 ( при п=14, у=0...71) .Нужно,как бы,убрать "у".Что посложнее.