Дан прямоугольник ABCD. Окружность, проходящая через точки A и D, касается прямой CD и пересекает диагональ AC в точке P.
Найдите длину отрезка DP, если AP = 3, AB = 9√10

Ответ: 9
Судя по всему AD - диаметр окружности, потому что окружность касается прямой CD в точке D. Тогда угол APD равен 90°. По формуле с пропорциональными отрезками получается, что DP²=AP*PC. AB=DC=9√10.
По теореме Пифагора:
DC²=PC²+DP²
Вместо DP² подставляем то, что нашли раннее:
DC²=PC²+AP*PC
(9√10)²=PC²+3PC
PC²+3PC-810=0
Находим через дискриминант:
PC=27
Подставляем в формулу, найденную раннее:
DP²=AP*PC
DP=√3*27
DP=√81
DP=9
                                                                              

Для того, чтоб было нагляднее - нарисуем картинку.
Как мы видим, окружность, чтоб и пересечь прямоугольник в точке D, и касаться прямой СD - должна расположиться вот таким образом. Как мы видим, AD является одновременно диаметром, а поскольку Вписанный угол APD равен половине соответствующего ему развёрнутого центрального угла, то он - прямой. Исходя из этого видим, что у нас есть два треугольника, в которых есть известная одна сторона, и в которых есть наша искомая сторона DP - APD и DPC.
Можно искать DP Через теорему Пифагора через оба треугольника
DP²=DC²-CP²
DP²=AD²-AP²
Но в большом прямоугольном треугольнике ADC у нас тоже фигурирует AD²=(AP+CP)²-DC²
Получается система, которую решаем способом сложения
9+PD²=AD², CP²=810-PD², AD²=(3+CP)²-810.
9+PD²=(3+CP)²-810, 810-PD²=CP². PD² исчезает.
Оставшееся уравнение даёт нам СP=27.
Подставляем в первое уравнение.
DP²=810-CP².  DP²=81.
Итого, DP=9

Для наглядности построим рисунок.
Окружность,проходяща�я через точки A и D, будет касаться прямой CD и пересекать диагональ AC в точке P.
При этом угол APD=90°. т.е. прямой, поскольку опирается на диаметр AD.
Нужно найти длину DP. если АР=3, а АВ=9√10
По т.Пифагора вычислим DC²=PC²+DP²DP²=AP*PC.(*)AB=DC=9√10.в первую формулу подставляем DC²=PC²+AP*PC,далее (9√10)²=PC²+3PC или PC²+3PC=810отсюда РС = 27В формулу (*) подставляем DP²=AP*PCотсюда ДР = √3*27итого ДР = 9

Внимательно посмотрев на окружность, которая у нас стыкуется с точками D И А, мы видим, что помимо этого, лна же касается и прямой CD, а также еще будет пересекать диагональ АC в точке P. Так как диаметр получается с именем AD, то мы вычислим , что угол APD  будет прямым. А это уже приводит нас к двум треугольникам с одной известной стороной.
Пифагор приходит на помощь и  потому DP  в квадрате будет равняться DC в квадрате минус CP в квадрате. И тот же DP в квадрате = AD  минус AP , понятно, что все в том же квадрате.
Из треугольника ADC  мы выводим такую систему.
PD у нас самоликвидируется, а  в сумме мы получим значение  СР равно двадцати семи.
И теперь мы просто подставляем получившиеся  цифры  в первое уравнение, откуда получим ДР равно девяти.