На гранях игрального кубика расположены цифры 1,2,3,4,5,6. После первого броска кубик упал так, что сумма цифр на его боковых гранях оказалась равна 12. После второго броска он упал так, что сумма цифр на его боковых гранях оказалась равна 15. Какая цифра написана на грани, противоположной грани с цифрой 3?

Сумма всех цифр игрального кубика равна 21 (1+2+3+4+5+6=21).
Если вначале сумма цифр на боковых гранях равна 12,то тогда  на нижней и верхней гранях могут быть пары (3,6) и (4,5).
Во втором случае ( когда на боковых гранях сумма 15) на оставшихся двух гранях будут пары (1,5) или (2,4)
В первом случае вариант (4,5) невозможен,так как тогда невозможен второй случай целиком,ведь во втором случае цифры 4 и 5 находятся в разных парах.
Значит остается вариант в первом случае (3,6) ,что и приводит нас к ответу:
Ответ: на грани противоположной грани с цифрой 3 находится цифра 6.
                                                                              

Сумма всех цифр на кубике (ну, первых шести натуральных чисел) равна 21. Тогда в первом случае сумма чисел на верхней и нижней гранях (тех, которые не боковые) равна 21-12=9, во втором 21-15=6. Число 9 из неповторяющихся чисел до 6-ти могут образовать только суммы 6+3 и 4+5; число 6 - 1+5 и 4+2. Верхняя и нижняя грани противоположны, а так как цифрами на них могут быть 6 и 3, то цифра 3 по-любому лежит на грани, противоположной грани с цифрой 6. Ответ: 6.