Длинна тетивы лука АВ равна 140 см, а база 20 см (расстояние СD между тетивой и луком). Тетиву натянули так, что стрела расположилась между ней луком, как изображено на схеме. Следует вычислить длину стрелы С₁D₁, если известно - расстояние между вершинами плеч лука А₁В₁ сократилось до 126 см.
Изгиб лука в обоих вариантах соответствует дугам окружностей, его габариты и растяжение тетивы не учитываются.

На левом чертеже продолжим линию стрелы в сторону оперения. На ней обозначим точку О - центр окружности дуги AB, и проведём радиусы ОА и ОВ. Обозначим длину радиуса R. Поскольку ОС = R, Получаем уравнение: R-20 = √ (R^2-70^2), откуда R = 132,5. Обозначим угол АОС (а), соответственно АОВ = 2а. sin(a) = 70/132,5 = 0,528301887. Угол а = arcsin(0,528301887) = 0,556599318 радиан. Длина дуги АВ = 2*132,5*0,556599318 = 147,4988193 см.
На правом чертеже обозначим точку пересечения линий стрелы и тетивы К1. А1К1 = 126/2 = 63. Очевидно, что D1A1 = 70, а длина стрелы D1C1 = D1K1 + K1C1. Из прямоугольного треугольника A1K1D1  D1K1 = √(70^2-63^2) = 30,5122926.
Обозначим на отрезке C1D1 точку О1 - центр окружности дуги А1В1, и проведём радиусы О1А1 и О1В1. Обозначим их длину (r), а углы А1О1С1 и С1О1В1 (в).Тогда sin(в)=63/r, угол в=arcsin(63/r). Принимаем, что при натяжении тетивы длина самой дуги лука не изменилась, т.е. А1В1 = АВ = 147,4988193 см
Длина дуги A1B1=2*r*arcsin(63/r�), т.е можем записать: 2*r*arcsin(63/r) = 147,4988193.
Методом подбора находим значение радиуса r = 77,076.
Тогда K1C1 = 77,076 - √(77,076^2-63^2) = 32,67206126.
Длина стрела равна 30,5122926 + 32,67206126 = 63,18435386 см.
                                                                              

Пусть радиус левой окружности-г,длина стрелы-п, отрезок СD=с,отрезок АВ=2а=140,отрезок А1В1=2в=126
Угол дуги АВ=х, угол дуги А1В1=у,тогда:
г= а/sin(x/2)=(r-c)/cos(x/2)
n=b/sin(y/2)
длина дуги АВ=длина дуги А1В1 или:
2 пи*г*х/360=2*пи*п*у/�360 или
г*х=п*у,причем х и у в градусах,а не радианах.Далее:
r*sin (x/2)=a
r*cos(x/2)=r-c
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и получим:
(a/r)^2+((r-c)/r)^2=1
a^2+(r-c)^2=r^2
a^2+c^2=2rc
r=(a^2+c^2)/2c=132,5 cm и  тогда
х/2=arcsin (a/r)=arcsin (70/132,5)=arcsin 0,53=0,559 rad=32 grad
x=64 grad,далее тогда:
п*у=64*132,5=8480,но у нас п=в/sin (y/2)
8480/y=63/sin(y/2)
sin(y/2)/y=0,0743 или по другому (sin(y/2))/(y/2)=0,0�743*2=0,015
Получили отношение синуса угла к самому углу,попробую подобрать.
Подбирал имея перед собой таблицу синусов,получил у/2=50 градусов.
Синус 50 градусов равен 0,766,тогда длина стрелы п=63/0,766=82,25 см.

Rafail представил верное решение задачи и вычисленное значение.
Ее можно решить проще, если воспользоваться приближенной формулой Гюйгенса, в случаях, когда не требуется большая точность, но вполне достаточная в практических целях.
Длина дуги по формуле Гюйгенса находится через хорды. Пусть L – длина дуги, М – хорды, m – хорды, стягивающей половину дуги. Тогда
L ≈ (8m – М)/3 (1).
Определим m, исходя из длины хорды М и х – высоты сегмента (стрелки кривизны, базы лука):
m = √(М²/4 + х²).
Подставим это значение в (1)
L ≈ (8√(М²/4 + х²) – М)/3 (2).
В результате имеем три параметра сегмента: L, М и х. Выбирая из них два исходных параметра, можно определить третий. Преобразуем (2) относительно х,
х ≈ √((3L + М)² - 16М²)/8 (3).
________________�________________
Вычислим длину стрелы, исходя из условия задачи: М = 140 см, М₁ = 126 см, х = 20 см.
Длина дуги по формуле (2)
L = 8√140²/4 + 20²) – 140)/3 ≈ 147,47.
Высота сегмента по формуле (3)
х₁ = √((3*147,47 + 140)² - 16*140²)/8 ≈ 32,852.
Отрезок ОD₁ = √(140²/4 – 126²/4) ≈ 30, 512.
Длина стрелы  32,852 + 30, 512 = 63,364 (см).
Погрешность менее 2 мм.

На левом рисунке АВ=140 см - хорда окружности, стягивающая дугу АСВ. Длина этой хорды равна длине тетивы лука. Обозначим эту длину буквой L=140 см.  СD=20 см - высота сегмента окружности. Обозначим эту высоту буквой h=20 см. По формуле для  радиуса окружности сегмента R=(Х^2-4h^2)/8h вычисляем его величину, R =(140^2-4*20^2)/8*20=112,5 cм. Длину дуги сегмента АСВ при радиусе окружности 112,5 см вычисляем по формуле Lс= 2*√(2*R*h-h^2), Lс=2*√(2*112,5*20-20^2)≈128... см. На правом рисунке длина дуги сегмента А1С1В1 тоже равна 128 см. Хорда сегмента окружности А1В1 равна 126 см. Радиус такого сегмента находим из  формулы для хорды 126=2*√(2*R*40-40^2). В результате искомый радиус А1D1≈69,6.

AD=A1D1(т.к. тетива),делаем следующий рисунок
Т.к. OD1-катет,мы можем легко найти его длину.
Допустим,что A1C1=AC(дуги точно равны,а насчёт этих отрезков я не уверен).Получаем следующее уравнение:
Решая,получаем в качестве ответа второй корень(x не может быть меньше 20,тем более 0).