Сторона квадрата равна 1. Через его центр проведена прямая. Вычислите сумму квадратов расстояний от четырёх вершин квадрата до этой прямой.

Смотрим рисунок.
AE; BF; DG; CH - перпендикуляры. В силу симметрии AE = CH и BF = DG
Поэтому требуется найти (AE² + BF²)•2
Проведем AO и BO.
Рассмотрим ∆OFB - прямоугольный и ∆AEO - прямоугольный.
У них BO = AO (половины диагоналей квадрата).
Так как диагонали пересекаются пот прямым углом, то ∠AOE + ∠FOB = ∠AOB = 90˚
Но ∠OBF + ∠FOB = 90˚ (из ∆OFB), то ∠OBF = ∠AOE =>
∆OFB = ∆AEO (по гипотенузе и острому углу) =>
AE = ОF
По теореме Пифагора: OF² + BF² = OB², заменим OF на AE
AE² + BF² = OB²
Таким образом: (AE² + BF²)•2 = 2OB² = OB² + OB²
Так как OB = OA и ∆AOB - прямоугольный, то
OB² + OB² = OB² + OA² = AB² = 1² = 1
В итоге получили, что сумма квадратов всех расстояний = 1
Ответ: 1