В мешке 100 цифр. 10 нулей, 10 единиц, ...., 10 девяток.
Какое минимальное количество цифр нужно вытащить из мешка, чтобы гарантированно составить из некоторых из них число, кратное 11?

Наихудший вариант развития событий: Вначале мы вынимаем-10 нулей.
Затем три другие разные цифры ( например 1,2,4).Вариант кратности числа составленного из этих цифр числу 11 не просматривается.То есть подбором мы доказали что 13 цифр недостаточно для того чтобы гарантированно получить число,кратное 11.
Рассмотрим случай вытаскивания уже 14 цифр.
Воспользуемся признаком делимости на 11.Пусть наше число -авсп.Все цифры- разные.
Случаи когда некоторые цифры равны между собой,но не равны 0 мы не рассматриваем,поскол�ьку это будет вариант не являющийся наихудшим вариантом развития событий.По признаку делимости на 11 имеем:а-в+с-п=0 ( или 11)
Тогда: а+с=0( или 11)+в+п.
Подберем цифры,не являющиеся решением:1,3,5,9-зна�чит и 14 цифр тоже недостаточно.Остаётс�я доказать что 15 цифр достаточно для того чтобы получилось число,делящееся на 11.
                                                                              

Чтобы гарантированно составить из некоторых из них число, кратное 11 означает, что это может быть число 11 или число 110 или 22 или 220 и так далее. Понятно, что если вытащить 10 нулей, то такого числа не составить. Значит нужно вытащить еще. Следующая цифра может быть от 1 до 9 и опять из комбинации любой цифры и нуля не составишь число кратное 11 (будет только 10 или 20 или ...90). Значит нужно вытащить еще одну цифру, тут возможны варианты 11,22, ...,99 или 110,220,..,990, но могут быть и варианты 12, 120,210, которые не кратны 11. То есть опять нет гарантии.
Нужно вытаскивать четвертую цифру.132 есть, 1420 при любых комбинациях этих цифр нет. Нужна пятая цифра. 154 да. Значит нужно вытащить 10 нулей и еще как минимум 5 цифр, всего 15.

15.
14-ти недостаточно — например, 10 нулей, 5, 7, 8 и 9.