Найдите трёхзначное натуральное число, большее 400, которое при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Видимо здесь два разных вопроса, один в заголовке и один в пояснении.
Первый вопрос из заголовка
Ответ
480: 4=(8+0)/2 ; остатки от деления на 6 и на 5 равны 0
480/6=80
480/5=96
Ответ на второй вопрос
Можно дать один из трёх ответов (всего существует три числа, удовлетворяющих условию задачи) :
453: 4=(5+3)/2; остатки от деления на 6 и на 5 равны 3573: 5=(7+3)/2; остатки от деления на 6 и на 5 равны 3693: 6=(9+3)/2; остатки от деления на 6 и на 5 равны 3                                                                              

Трехзначное число должно быть больше 400.
Среднее арифметическое 5 и 6: (5 + 6) / 2 = 5.5.
Оно должно делиться одновременно на 6 и на 5, значит трехзначное число не должно делиться без остатка на 6 * 5 = 30 и быть меньше 5.
Необходимое число может иметь вид: 30n + 1,3n + 2,3n + 3,3n + 4.
Если n принимает значение от 1 до 13, то число не больше 400.
Если n = 14, то первая цифра не является средним арифметическим. Получается ряд чисел: 421, 422, 423, 424.
При n=15: 451, 452, 453, 454. 453 - подходит.
Также подходят числа 573 и 693.

Некоторое число 100а+10b+c равно 5х+n, и оно же равно 6у+n.
100а+10b+c=5х+n
100а+10b+c=6y+n
Из этого следует, то 5х=6у (если из первого уравнения вычесть второе).
Чтобы это равенство выполнялось, число должно быть равно 5*6*z, то есть на 5 и на 6 будут делиться числа, равные произведению 30 на некоторое натуральное число. Например 420 (30*14), 450 (30*15), 480 и т.д.
Теперь разберемся со вторым условием: старшая цифра - среднее арифметическое двух других. Чтобы выполнить это условие, нужно к полученным ранее числам (вида 30*z) добавить число, меньшее 5, (это будет остаток от деления), чтобы выполнялось требуемое условие.
Для чисел, начинающихся с 4, сумма двух других чисел должна быть 8.
420->426 не годится, 6>5
450->453 годится!
480 сумма уже 8
Для чисел, начинающихся с 5, сумма двух других чисел должна быть 10.
510->519 не годится, 9>5
540->546 не годится, 6>5
570->573 годится!
Для чисел, начинающихся с 6, сумма двух других чисел должна быть 12.
600, 630, 660 - нельзя добавть число <5.
690->693 годится!
Числа из седьмой, восьмой и девятой сотни рассматривать нет смысла. Ни к одному из них не получится добавить чило <5, чтобы получит суиму двух последних цифр 14, 16 или 18.
Итак, среди чисел, больших 400, нам удалось найти всего 4 числа, дающих при делении на 5 и 6 одинаковый остаток, у которых старшая цифра есть среднее арифметическое двух других.
480 (остаток 0),
453 (остаток 3),
573 (остаток 3),
693 (остаток 3).

Пусть это число авс. Известно :
а>=4
2а=в+с--(это про среднее арифметическое)
авс=5х+р
(это про остаток р)
авс=6у+р-(это тоже про остаток)
5х=6у
5(х-у)=у-то есть число у делится на 5
х=6(у-х)--число х делится на 2, 3 и 6.
Пусть а=4, в+с=8
авс=453--вот подходяшее число.
Пусть а=5
в+с=10.
авс-нет вариантов
Пусть а=6
а+с=12
авс =693--вот подходящее число
Пусть а=7
в+с=14
авс-нет вариантов
Пусть а=8
в+с=16
авс-нет вариантов
Пусть а=9
авс=999-не подходит, не вариант
Таким образом, если я ничего не попутал, а мог, так как в уме считал, всего два таких трехзначных числа.