Из пунктов А и В (рис. 119), расстояние между которыми 20 км, вышли одновременно в указанных направлениях два пешехода. Скорость пешехода, вышедшего из пункта А, 4 км/ч, а скорость пешехода, вышедшего из пункта В, 6 км/ч. Через какое время расстояние между ними станет наименьшим?
(Никольский. Алгебра. 8 класс. Задачи на исследование, № 13)

Задача решается элементарно с помощью системы уравнений.
Во-первых обратите внимание, что на рисунке траектории движения обоих пешеходов сходятся под углом в девяносто градусов, следовательно можно сделать следующее обобщение: траектории движения это катеты, прямоугольного треугольника, расстояние между пешеходами это гипотенуза.
Если гиппотинуза треугольника это расстояние которое нам необходимо отыскать, вспоминаем теорему Пифагора. Квадрат гиппотинузы равен сумме квадратов катетов.
Шаг второй. Выражаес каждый катет через скорость и время. Получаем:
Катет А: А= 4(км/ч)*t(ч)
Катет В: В= 20км(изначальное расстояние между А и В)-6(км/ч)*t(ч)
Шаг третий подставляем в формулу квадрата гипотенузы.
АВ^2 = (4t)^2+(20-6t)^2
Преобразуем полученное уравнение, расстояние обозначим за Х.
Х^2=16t^2+400-120t-120t+36t^2
X^2=52t^2-240t+400
Теперь решим уравнение:52t^2-240t+400
Видно что уравнение, не имеет решения, значит функция все время либо возрастает, либо убывает, подставляем любые числа для проверки. Получаем, что функция постоянно возрастает с ростом времени.
Следовательно, наименьшим Х будет при наименьшем времени, тоесть в начале движения.
Однако, в таком случае, треугольник вовсе не образуется. Тоесть необходимо проверить второй аналогичный случай когда он не образуется, это если второй пешеход пройдет весь путь до конца.
Путем несложных подсчётов узнаем, что сделает он это за 3 часа и 20 минут, тогда как первый за это время преодолеет расстояние в 12(4/3), что меньше 20, следовательно ответ в задаче 3 часа 20 минут.
                                                                              

Что-то мне подсказывает (а именно, банальная подгонка в Экселе), что через 2.299ч движения этих пешеходов мы получим их расположением на графике прямоугольный треугольник с катетами в 6.206км и в 9.196км и гипотенузой в 11.0941809972616км.
Возможно, что это не самое меньшее расстояние, которое может быть в этом раскладе, не знаю, но решать квадратные уравнение мне принципиально лень.
Выставляю этот результат. Кто представит меньше?