Задача от мудрой совы.
На прямой отметили несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками поставили ещё по точке, и так поступили несколько раз. Докажите, что после каждой такой операции общее количество точек на прямой будет нечетным.

Пусть на прямой имеется к точек, тогда между ними можно поставить (к-1) точек. Получим (2*к-1) точек (это нечетное число). Между этими (2*к-1) точками можно поставить (2*к-1) -1 точек, общее количество точек будет равно 2*(2*к-1) - 1 (это нечетное число). Далее по аналогии на четвертом этапе будет 2*(2*(2*к-1) - 1) -1 точек, опять нечетное число. Понятно, что при любом количестве повторов получится число вида 2*п - 1, то есть нечетное число.
Пример, пусть поставлено 10 точек, между ними 9 точек, всего в сумме 19 точек. Между 19 точками можно поставить 18 точек, в сумме 37. Между 37 точками можно поставить 36 точек, всего 73 точек. Между 73 точками можно поставить 72 точки и в сумме всего 145. Из 10 точек получаем последовательность: 19, 37, 73, 145, 289, 577, ....
                                                                              

Доказательство достаточно простое.
Допустим, изначально на прямой было четное количество точек. Тогда количество промежутков между ними будет нечетным, и в следующий раз будет поставлено нечетное количество точек, а четное число (количество точек изначально) плюс нечетное (количество поставленных точек) в сумме дает нечетное число.
Если же изначально на прямой было нечетное количество точек, то количество промежутков между ними будет четным. как и количество точек, поставленных в следующий раз, и опять-таки - нечетное число плюс четное - получим нечетное число.
Проверка - если было две точки, между ними поставили еще одну - стало три; если же было три точки, между ними поставили еще две - точек стало пять; т. е. дальнейшее количество точек при таких заданных условиях задачи будет всегда нечетным.

Попробуем доказать на конкретных примерах. Пусть отметим две точки. Отметим точку между ними. Получаем 2+1=3 . число точек нечётно. Далее отметим 3 точки. Отметим между ними ещё 2 точки. 3+2=5. Опять получается нечетное число. Отметим 4 точки. Между ними надо добавить 3 точки. Получается 4+3=7 точек. Опять нечетное число. Итак видим закономерность. Если на прямой чётное число точек, то между ними на одну меньше точек и получается нечетное число. Чётное плюс нечетное будет нечетное число. Если число точек нечетное, то между ними чётное число точек. И опять нечетное плюс чётное будет нечетное число. Что и требовалось доказать.

Задача, на первый взгляд, совсем простая, но ее несколько усложняет дополнение как доказать. По этому следует больше подумать именно над тем, как доказать.
Думаю для доказательства нужно взять два примера. Один, когда изначально четное количество точек, и второй пример, когда точек нечетное количество.
Пят точек потребуют четыре точки по условию задания. В результате сумма буде девять, то есть нечетное число.
Четыре точки потребуют три точки в промежутки. Сумма будет равна семи. Опять нечетное число.
В обоих случаях получим нечетное число, что и требует вопрос.
Можно подойти и несколько иначе, простым путем перебора разных вариантов - результат не изменится, всегда будет нечетное число.