Обозначим S(n) сумму цифр числа n, а K(n) сумму квадратов цифр числа n.
Например, для числа n = 493 будет S(n) = 4 + 9 + 3 = 16, K(n) = 4^2 + 9^2 + 3^2 = 16 + 81 + 9 = 106.
Внимание, вопрос: найти наименьшее число n, для которого выполнено:
K(n) = 8*S(n) + 83
Ответ я знаю: 19 999 999 999, вопрос в том, как его найти?

Пусть наименьшее число, удовлетворяющее условиям, обозначенным в Вашем вопросе, имеет вид
а1а2...аn.
В этом случае условие можно переписать в виде
(а1)^2 + (а2)^2 + ... + (аn)^2 = 8*(a1 + a2 +... + an) + 83 или
a1*(a1 - + a2*(a2 - + ... + an*(an - = 83.
При любом аi, меньшем 9, где i - индекс (прошу прощения за такое варварское написание, но по-другому обозначить нижние индексы в редакторе БВ у меня не получается), который варьируется от 1 до n, аi*(ai - меньше либо равно нулю. Ну а при аi, равном девяти, аi*(ai - = 9.
Понятно, что для получения в результате сложения всех аi*(ai - положительного числа 83, необходимо, чтобы как минимум десять (округленное в большую сторону частное от деления 83 на 9) цифр искомого числа были равны девяти.
Тогда а1*(а1 - + 90 = 83, откуда
а1 = 7 или а1 = 1.
Ну а поскольку нам требуется найти наименьшее число, останавливаем свой выбор на единичке, а само искомое число в этом случае равно
19 999 999 999.
                                                                              

сложная задача. Разберем равенство K(n) = 8*S(n) + 83, чтобы было понятней для начала выкинем из него 83. Попробуем решить, для однозначного числа, так как слева квадрат той цифры, что справа, то равенство будет выполнено если n равно 8, для двузначного - 88 и т.д. Если же мы возьмем 9, то число слева (81) будет на 9 больше того что справа (72), т.е. только при условии что к числу мы будет добавлять только девятки, K(n) сможет расти быстрее чем 8*S(n).
Если в числе будет одна 9 то нам не будет хватать для покрытия "лишних" 83 еще 74. Делим 83/9=9 и 2 в остатке, т.е. нам нужно 9 девяток и еще что-то чтобы покрыть остаток 2. Но как мы ранее выяснили левая сторона равенства может расти быстрее правой если только добавлять к числу цифру 9, значит нам придется добавить еще одну 9, но тогда получится лишних 7 единиц. Убрать их можно добавляя к числу цифры меньше 8. Нам нужна цифра у которой ее квадрат меньше увосмеренного значения на 7, таких две 1 и 7.
Так как нам нужно меньшее число, то выбираем 1 и ставим ее самой первой, при этом можем поставить в любое место и условие будет соблюдено, но для получения наименьшего числа нужно поставить слева, т.е. нужное нам число состоит из одной 1 и десяти 9.

Представим число в виде а1а2.. ап.Тогда согласно условиям a1*a1+a2*a2+..+an*an�=8a1+8a2+..+8an+83.Ан�ализируя данное равенство видно что часть аi>9(i-как назвала Светлана-индекс).Нам нужно наименьшее число.Поэтому пусть аi=9 с некоторого i=k до i=n,а для i<k, ai<9( по крайней мере ак<9).Тогда выражение перепишется в виде а1*а1+..+ак*ак+81(n-�k)=8(a1+..+ak)+72(n-k�)+83.Далее а1*а1+..+ак*ак+9(n-k�)=8(a1+...+ak)+83.Раз нас интересует наименьшее число то чем меньше k,тем оно меньше( посмотрите на правую часть последнего равенства).Пусть к=0,тогда 9п=83,что невозможно,так как п-целое число.Пусть к=1,тогда получим выражение а1*а1+9(п-1)=8а1+83.�Из последнего получим выражение для п.Вот оно 9п=92-а1*а1+8а1.Подс�тавляя вместо а1 значения от 1 до 9 получим следующие пары-а1 =1 и п=11,а1=5 и п=13,а1=7 и п=11.(при других а1 получаются дробные значения п -вроде проверил))Наилучший ответ а1=1 и п=11.Наше число 19999999999.