Угол А = 65°, а угол D = 117°. Стороны AD и BC параллельные, стороны АВ и СD не параллельны.
Требуется математическое обоснование и доказательство ответа. Задача для 7-го класса.
Чему равен угол "В" в четырёхугольнике при условии, что стороны AD и BC параллельные?

Изучала геометрию давно, но, думаю, знаю правильный ответ.
Нужно провести дополнительное построение.
Из угла А повести линию АМ до BC перпендикулярную AD. Далее в треугольнике AMB найти угол ABM. Угол MBC будет 180°. Зная все данные можно легко найти угол АВС.
В треугольнике AMB угол AMB равен 90°. Т.к. AD и BC параллельны. Угол МАВ равен 90-65=25.
Сумма углов в треугольнике 180°.
Тогда угол АВМ будет 180-90-25=65.
И угол АВС будет равено 180-65=115°
Как всегда на правильность расчётов не претендую, т.к. с цифрами у меня не всегда хорошо.
                                                                              

Есть теорема, что если две параллельные линии пересекаются третьей, то углы под которыми параллельные линии пересекаются равны. А если на рисунке линии AD и BC продлить вверх, а AB в обе стороны, то и будет такой случай. Т.о. угол расположенный с другой стороны угла X равен углу A, т.е. = 65°. И соответственно угол X дополняет 65° до 180°, и соотвтетственно угол B равен 180-65= 115.
Второй вариант:
Для доказательства мысленно перемещаем линию BC в направлении линии AD (вдоль линии BA). Перемещаем до тех пор пока линии не совпадут. Тогда линия BC закроет линию AD, потому, что линия BC немного длиннее, а сами линии совпадут (на отрезке AD) потому, что они параллельны. Затем продлив линию AB влево, чтобы слева образовался угол точное значение которого равно и искомому углу B, неизбежен вывод, что искомый угол равен дополнению угла A=65° до 180°.
180 - 65 = 115 градусов.
Третий вариант:
Из точки D проводим линию DE параллельно линии AB. Образовался параллелограмм ABED. Параллелограмм это наклонный прямоугольник у которого противолежащие стороны параллельны, равны, а также равны и противолежащие углы. Так как сумма углов DAB и ADE должна быть 180 градусов, следовательно угол ADE равен 180-65= 115 градусов. И тогда искомый угол X или ABD также неизбежно должен быть равен 115°, т.к противолежащие углы в параллелограмме равны.

Простите за нескромность, но для меня ответ в этой задаче кажется вполне очевидным.
Начнем с главного постулата - сумма всех углов в любом четырёхугольнике равна 360 градусов.
Стороны АD и BC параллельны, следовательно угол  С равен 180 - 117 = 63.
=Таким образом искомый угол В будет равен 360 - (65+ 117 + 63)= 115 градусов.