Как решить задачу (ОГЭ математика)?
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠ВАС = √11/6.

Нарисуем рисунок согласно условия. И отметим точку касания окружности и AB, точкой D. Центр окружности обозначим O. OD = R - искомый радиус окружности.
∠ВАС обозначим α
1) AD - касательная, AN - секущая. По уравнению касательной и секущей
AD² = AM • AN
AD² = 9•11 = 99
AD = √99 = 3√11
2) Рассмотрим ∆ADM: По теореме косинусов DM² = AM² + AD² - 2•AM•AD•cosα
DM² = 81 + 99 - 2•9•3•√11•√11/6 = 81 + 99 - 99 = 81
DM = 9
3) ( Хотел рассмотреть так же ∆ADN, но не будем ). Потому что получили ∆ADM - равнобедренный: AM = MD = 9, тогда ∠DAM = ∠ADM = α
Дополним рисунок для дальнейшего решения
4) Воспользуемся свойством, что угол между касательной и хордой равен половине дуги (центрального угла) опирающейся на эту хорду.
То есть центральный угол ∠DOM = 2∠ADM = 2α
Если это свойство не знаем, то доказываем рассмотрев равнобедренный ∆DOM у которого ∠MDO = 90° - α
5) Проведем в равнобедренном ∆DOM (DO = OM = R - радиусы) высоту OH к основанию DM
ПО свойству высоты к основанию в равнобедренном треугольнике она будет медианой и биссектрисой.
Тогда DH = DM / 2 = 9/2 = 4,5
∠DOH = ∠DOM / 2 = 2α/2 = α
6) Рассмотрим прямоугольный ∆DHO: DO = DH : sinα
7) По основному тригонометрическому тождеству sin²α + cos²α = 1
Откуда sinα = √(1 - (√11/6)²) = √(1 - 11/36) = √(25/36) = 5/6 (берем положительный результат, так как синус от 0° до 180° положителен)
R = DO = 4,5 : (5/6) = 4,5•6 / 5 = 5,4
Ответ: К = 5,4