Сторона квадрата, изображенного на рисунке, равна 6. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Задача достаточно интересная и развивающая, требующая некоторых размышлений, по-моему.
Итак, имеем четыре маленьких квадрата со стороной 3. Закрашенный треугольник в верхнем левом квадрате равен такому же в нижнем правом квадрате. Причем площадь двух этих треугольников вместе равна половине площади маленького квадрата, т. е. равна:
3 * 3 / 2 = 4,5
Далее, имеем два незакрашенных треугольника в нижнем левом квадрате, площадь которых в сумме также составит половину площади маленького квадрата, т. е. 4,5, значит, площадь закрашенной части этого маленького квадрата также равна 4,5.
Итого, складывая площадь закрашенных частей, получим, что всего она равна 9, т. е. четвертой части площади большого квадрата.
В принципе, можно и по-другому - закрашенный треугольник в верхнем левом углу равен незакрашенному в нижнем левом, то же и для нижнего правого закрашенного треугольника. Т. е. площадь закрашенной фигуры как раз равна площади одного маленького квадрата, т. е. 9.
                                                                              

Закрашенная часть состоит из четырехугольника и двух треугольников. Рассмотрим  левый нижний квадрат у которого стороны равны 3 ед. Ну а площадь равна 9. Теперь рассмотрим треугольники закрашенные и вертикальные им в левом нижнем квадрате.  Треугольники с вертикальными углами и при том прямоугольные еще имеют равные катеты (равные половине стороны или 3 ) и получается что они равны и в результате полностью заполняют левый нижний квадрат. А значит площадь закрашенных фигур равна 9.

Проще посчитать вначале общую не закрашенную площадь.
Это две половинки прямоугольников 6х3, в сумме это 18 квадратных единиц и ещё квадрат 3х3, площадью в 9 квадратных единиц, итого 27 квадратных единиц на не закрашенную область.
Сам же большой исходный квадрат 6х6 имеет площадь в 36 квадратных единиц.
Следовательно, на закрашенную область приходится 9 квадратных единиц площади.
Ответ на задачу: Площадь закрашенной фигуры равна 9 квадратных единиц.