Сначала вычислили сумму цифр числа, равного произведению 1 х 2 х 3 х ... х 999 х 1000. Потом вычислили сумму цифр полученного числа. Так поступали до тех пор, пока не получили однозначное число. Что это за число?

               При всей своей кажущейся сложности, задача довольно таки не сложная.
Подсказка уже дана в условии, что получили однозначное число.
То есть обязательно получено число от 1 до 9 (0 не годится. он не может быть суммой других цифр)
Теперь стоит вспомнить признаки делимости, особенно те которые связаны с суммой цифр.
Ведь в произведении ряда чисел от 1 до 1000 есть 9. И значит полученное произведение делится на 9.
А это значит, что сумма цифр полученного числа будет делится на 9. Но сумма цифр - это некое число и раз оно должно делится на 9, то сумма его цифр должна делится на 9 и так далее.
И раз таки получили однозначное число в результате этих действий, то оно должно делится на 9. А это только 9.
Ответ: 9