Уравнение ax^2 – 5x + 2 = 0.
При каком (при каких) значениях параметра a вышеуказанное уравнение имеет ровно один корень?

Чтобы решить эту задачку нужно вспомнить условие, при котором квадратное уравнение имеет один корень.
А условие это гласит, что в квадратном уравнении будет только один корень, если дискриминант равен нулю D = 0
Формула вычисления дискриминанта выглядит так:
D = b² - 4ac , а значит
b² - 4ac = 0
(-5)² - 4*a*2 = 0
25 - 8*a = 0
8*a = 25
a = 25/8 = 3.125
Кстати, корень этого уравнения можно найти по формуле
х = -b / ( 2a )
x = 5 / ( 2*3.125 )
x = 5 / 6.25 = 0.8
Теперь можно проверить правильность нашего решения:
ах² – 5x + 2 = 3.125 * 0.8² - 5 * 0.8 + 2 = 3.125 * 0.64 - 4 + 2 = 2 - 4 + 2 = 0
Так что по всей видимости и задание и уравнение решены верно.
                                                                              

Тут не обязательно вычислять дискриминант и извлекать корни, достаточно вспомнить, что у квадратного уравнения корень один, если выражение есть полный квадрат (в представленной задачке - полный квадрат разности).
Вспоминаем формулы сокращённого умножения: (сx-b)² = с²x²-2abx+b². Тут чисто для удобства вместо а взят коэффициент с², чтоб в скобках не было корней (т. е. замена а = с²).
Очевидно, то b=sqrt(2), и что 2сb=5. Откуда с = 5/2b = 5/[2sqrt(2)], или а = 25/8 = 3,125.

Приведем уравнение к приведенному виду:
х^2-(5/а)х+2/а=0.
У этого уравнения такие же корни.
У нас по условию один корень. Но формально 2 одинаковых. У приведенного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.
Тогда :
2х=5/а
хх=2/а,отсюда
25/4аа=2/а
25/4а=2
25=8а
а=25/8=3,125

Это обычное квадратное уравнение, так что при дискриминанте равном нулю, мы получим только один корень.
D=b^2-4ac по условию D должно быть равно нулю b^2-4ac=0 и подставляя известные значения получим 25-8а=0
получается -8а=-25 умножим для удобства на -1
8а=25
Следовательно а=25÷8
а=3,125